专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）.pdf

专题38几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）

典例剖析+针对训练

类型点在直线上运动

典例1（2022•利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的

一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）

A．0.5B．2.5C．2D．1

思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到

点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．

解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EHG，连接BH，得到△EFB≌△EHG

从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，

延长HM交CD于点N．

则△EFB≌△EHG，

∴HE＝BE＝1，∠BEH＝60°，∠GHE＝∠FBE＝90°，

∴△EBH为等边三角形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠FBE＝90°，

∴∠GHE＝∠FBE＝90°，

∴点G在垂直于HE的直线HN上，

作CM⊥HN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，

作EP⊥CM，连接BH，EH，

则四边形HEPM为矩形，

∴MP＝HE＝1，∠HEP＝90°，

∴∠PEC＝30°．

∵EC＝BC﹣BE＝3，

13

∴CP=EC=，

22

35

∴CM＝MP+CP＝1+=，

22

5

即CG的最小值为．

2

方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，

则△CEG≌△EFH，

∴CG＝FH，

35

当FH⊥AB时，FH最小＝1+=．

22

故选：B．

总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判

断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的

类型．

针对训练

1．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝23，点P在边AC上运

动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长

的最小值为．

思路引领：以BC为边构建出和△BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值．

解：如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC＝120°，连接PQ．

由题意可得△BQC和△BPD均为顶角为120°的等腰三角形，

1

可得==，∠QBC＝∠PBD＝30°，

3

∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，

∴∠PBQ＝∠DBC，

∴△PBQ∽△DBC，

1

∴==，

3

∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，

如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP为QP的最小值，

可得AK⊥BC，

∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，

∴BK＝3，∠QBK＝30°，

∴QK==3，

3

∵tan∠ACB=23=，KC＝3，