二次函数图象对称性的应用(完美版) .pdfVIP

数学练讲卷二次函数

二次函数图象对称性的应用

摘要：二次函数图象具有对称性，充分、合理地使用这一特性，对于解决有关二次函数的问

题，会使问题得到的正确、高效的解答，同时它也是一种重要的解题途径。

关键词：二次函数，抛物线，对称。

我们知道二次函数图象是一条具有对称性的抛物线，合理使用抛物线的这一特征，对于

解答有关二次函数的一类问题，会取得很好的效果，近年的中考命题及初中数学竞赛，涉及

这方面的题目不断出现，并产生了不少的上佳题目。本文试就初中毕业班总复习阶段，在二

次函数这部分内容教与学上，如何引导学生应用抛物线的对称性解决所遇到的问题，谈谈教

学感想和体会。

一、几个重要结论：

1、抛物线的对称轴是直线。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2

两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是

（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则

另一个交点B的坐标可以用表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而

定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC

是等腰三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的对称轴上。

二、在解题中的应用：

第1页共3页

数学练讲卷二次函数

例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次

函数的解析式。

解题分析：注意到图象所过的两个点A、B，都在x轴上，故可由性质3，容易得到该

抛物线的对称轴是直线x=1，进而得出该抛物线的顶点坐标是（1，-8），所以，可以用顶

点式先设出所求的二次函数形式，再用待定系数法，求得结果。

从本题可得到这样的经验：在求二次函数解析式的问题时，要充分挖掘题中的隐含的条

件，再来选择最合适的二次函数形式，这样的就能使解题过程最简捷。

例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐

标，且满足.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线

的对称轴对称，求的值。

解题分析：本题是2003年厦门中考试题，原题目中的第一个问题是先“求证此抛物线与

轴总有两个不同的交点”在此略去。以下只针对本题中的第（2）个问题进行讨论，并由第

（1）个问题求解知该抛物线的函数解析式是；注意到P、Q两点是关于此抛物

线的对称轴对称，且抛物线的对称轴是直线，由性质2可得：，

所以就有。在此法求解过程，我们不难发现原题中的“P（，），Q（，

）是抛物线上两个不同的点”，这一条件是多余的，因为若P、Q两点是相同的一个点，

且关于对称轴对称时，这样P点就只能是顶点了，而这时解题中所得的结论一样是成立的。

例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该

抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。（2005年山东中考试题）

解题分析：本题若按常规的解法是先由已知的A、B、C三点的坐标求出抛物线的函数

关系式，然后再用=-8，求出横坐标，进而得到答案。这样做显然没有