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2024年南京大学江苏省综合评价数学和计算机试题
一、正方形ᵄ满足:存在ᵅ个半径为1的圆ᵃ,ᵃ,…,ᵃ,使得以ᵄ内任意一点为圆心
12ᵅ
的半径为1的圆,都存在ᵅ∈{1,2,3,…,ᵅ},使得ᵃ与之相交或重合。求证:ᵄ的面积
ᵅ
不超过4ᵅᵰ。
1202412024()2023
=1,ᵆ+=ᵆ,比较√2023−ᵆ!()
二、ᵆ+和√2024+ᵆ!的大小。
2024
ᵆᵆ
三、如图,ᵄ,ᵄ,ᵅ,ᵅ为已知实数,ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ为未知实数,且它们都标在交点处,对
()2
()()ᵅ−ᵅ
于向量ᵅ⃗=ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,定义ᵃᵅ⃗=ᵯ,其中,ᵅ∼ᵅ表示ᵅ和ᵅ之间有边
ᵅ∼ᵅ
()()()
⃗⃗⃗⃗=ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,使得对任意ᵅ⃗=ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,ᵆ,都有ᵃᵅ⃗≤
相连。求ᵅ
0000000
()
ᵃᵅ⃗。
()
四、函数ᵆ定义域为{0,1,2,…,ᵅ−1},函数ᵃᵆ满足∀ᵅ∈{0,1,2,…,ᵅ−1},ᵃᵆᵅ=
()()()()()()()
2ᵆᵅ−ᵆᵅ+1−ᵆᵅ−1,其中ᵆ−1=ᵆᵅ−1,ᵆᵅ=ᵆ0。已知存在实
()()
数ᵯ,使得∀ᵅ∈{0,1,2,…,ᵅ−1},ᵃᵆᵅ=ᵯᵆᵅ。
1当ᵯ=0时,求所有满足条件的ᵆ。
[]
2求证:ᵯ∈0,4。
五、ᵅ边形ᵃᵃᵃ…ᵃ内一点ᵄ,设ᵯ=∠ᵄᵃᵃ,ᵅ∈{1,2,3,…,ᵅ},其中ᵃ=
123ᵅᵅᵅᵅ+1ᵅ+1
ᵅ
ᵅᵅ
ᵃ。求证ᵯcotᵯ≥ᵯcotᵃ+。
1ᵅ=1ᵅᵅ=1ᵅ2ᵰ
sin
ᵅ
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