专题34 三角函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.pdf

专题34三角函数

一、三角函数与相似三角形

1

【典例】如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BC=AD，AC与BD交于E，AC⊥

2

BD，则tan∠BAC的值是．

【解答】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，

∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，

∵AC⊥BD，

∴∠AED＝90°，

∴∠ADB+∠EAD＝90°，

∴∠BAC＝∠ADB，

∴△ABC∽△DAB，

∴=，

1

∵BC=AD，

2

∴AD＝2BC，

22

∴AB＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC，

∴AB=2BC，

2

在Rt△ABC中，tan∠BAC==；

2

2

故答案为：．

2

15

【巩固】如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，求tan∠CAD

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的值．

【解答】解：如图，作CE⊥AD，

∴∠CED＝90°

又∵∠BAD＝90°，∠ADB＝∠CDE

∴△CDE∽△BDA，

1

∵DC=BD

2

1

∴===，

2

5

∵tanB=，

3

∴设AD＝5x，则AB＝3x，

35

∴CE=x，DE=x，

22

1

∴tan∠CAD==．

5

二、三角函数在四边形中的应用

【典例】如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF．若

AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是（）

123

A．B．1C．D．

222

【解答】解：连接AF，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，

∵FC＝2BF，

∴BF＝1，FC＝2，

∴AB＝FC，

∵E是CD的中点，

1

∴CE=CD＝1，

2

∴BF＝CE，

在△ABF和△FCE中，

AB=FC

∠=∠，

=

∴△ABF≌△FCE（SAS），

∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE，

∵∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠CFE+∠AFB＝90°，

∴∠AFE