特征值与特征向量.ppt

定理5.3.1正交向量组必是线性无关的向量组.若α1，α2，…，αs是正交向量组单位化则β1，β2，…，βs是标准正交向量组.则=0=0注：线性无关组未必是正交向量组.第32页,共46页，星期六，2024年，5月施密特(Schmidt)正交化方法——化线性无关组为正交向量组.施密特正交化方法:可以证明，正交第33页,共46页，星期六，2024年，5月例4解：=4=12=-32可进一步将β1，β2，β3单位化，得到标准正交向量组.第34页,共46页，星期六，2024年，5月练习：解：先正交化标准正交化.=-1=1=3/2再单位化标准正交组第35页,共46页，星期六，2024年，5月二、正交矩阵正交矩阵的性质：定义5.3.6=AIAT=I(5)若A是n阶正交矩阵，α,β是n维列向量，则(Aα,Aβ)=(α,β)=I=(α,β)第36页,共46页，星期六，2024年，5月定理5.3.3设A为n阶实方阵，A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组为标准正交向量组. 正交矩阵与标准正交向量组之间的关系：β1β2β3两两正交，且长度为1.第37页,共46页，星期六，2024年，5月第四节实对称矩阵的相似标准形一、实对称矩阵的特征值与特征向量的特殊性质定理5.4.1n阶实对称矩阵A有n个实特征值,且其特征向量是实向量.定理5.4.2实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量必正交.证：设λ1，λ2是n阶实对称矩阵A的两个特征值，且λ1≠λ2.特征向量：x1x2Ax1=λ1x1Ax2=λ2x2(x1≠O,x2≠O)(Ax1,x2)=因为(λ1x1,x2)=λ1(x1,x2)……(1)(Ax1,x2)=(Ax1)Tx2=x1TATx2=x1TAx2=λ2x1Tx2=λ2(x1,x2)……(2)由(1)、(2)得：λ1(x1,x2)=λ2(x1,x2)(λ1-λ2)(x1,x2)=0λ1≠λ2(x1,x2)=0x1,x2正交.第38页,共46页，星期六，2024年，5月定理5.4.3(对称矩阵基本定理)n阶实对称矩阵A个，必存在n阶正交矩阵P，使得任一n阶实对称矩阵A必正交相似于对角形矩阵.定义4.3.5设A，B为n阶方阵，如果存在一个正交矩阵P，使得P-1AP=B则称矩阵A与B正交相似.PTAP=B若A与B正交相似，且A是对称矩阵，则B也是对称矩阵.因BT=(PTAP)T=PTATP=PTAP=B第39页,共46页，星期六，2024年，5月由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量正交，所以，可以求出A的标准正交特征向量组，构成正交矩阵，使得实对称矩阵A可以正交相似于对角矩阵.定理5.4.7实对称矩阵与对角矩阵正交相似.[通过例题再证明定理]证：设A为n阶实对称矩阵，λ1,λ2,…,λm为A的互异特征值，其中λi的重数为ni,对于A的ni重特征值λi对应有ni个线性无关的特征向量正交化正交向量组：单位化互异特征值对应特征向量正交标准正交特征向量组：令是正交矩阵.第40页,共46页，星期六，2024年，5月单位化得：解：例1求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.特征向量：且它们两两正交.第41页,共46页，星期六，2024年，5月解：例2求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.对于λ1=8，求(8I-A)x=O的基础解系：单位化对于λ2=λ3=2，求(2I-A)x=O的基础解系：属于λ1=8的特征向量.线性无关但不正交施密特正交化单位化属于λ2=λ3=2的正交特征向量.标准正交特征向量组构成正交矩阵P.第42页,共46页，星期六，2024年，5月求正交矩阵P，使A正交相似于对角矩阵.-8(λ-2)=(λ-2)(λ-5)(λ+1)λ1=-1λ2=2λ3=5正交特征向量组单位化：第43页,共46页，星期六，2024年，5月则P是正交矩阵，且第44页,共46页，星期六，2024年，5月本节基本要求：1.了解向量的内积、长度、夹角的定义及有关性质；2.理解正交向量组、标准正交向量组的定义，正交向量组与线