如图.三棱柱ABC-A1B1C1...（必威体育精装版文档）.pdfVIP

18．如图，三棱柱ABC-ABC中平⾯ABC⊥平⾯AABB，CA=CB=AB=AA=2，∠BAA=60°，

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（1）证明：AB⊥AC；

1

（2）直线AC与平⾯BBAA所成⾓的正弦值；

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（3）求直线AC与平⾯BBCC所成⾓正弦值．

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分分析析（1）通过线⾯的直，直接转化成线线直，进⼀步转化成线⾯直，最后转化成线线直．

（2）利⽤⾯⾯直转化成线⾯直，进⼀步求出直线与平⾯的夹⾓，利⽤直⾓三⾓形求出结果．

（3）以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的⽅向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建⽴空间的坐标系，运

⽤向量的法向量，结合向量的夹⾓公式，即可得到．

解解答答证明：（1）三棱柱ABC-ABC中，平⾯ABC⊥平⾯AABB，取AB的中点，连接CO和

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AO，

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已知CA=CB=AB=AA=2，∠BAA=60°，

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所以：△AAO为直⾓三⾓形．

1

则：AO⊥AB，

1

由于△ABC是等边三⾓形，

所以：CO⊥AB，

所以：AB⊥平⾯ACO，

1

则：AB⊥AC．

1

解：（2）在棱柱中，平⾯ABC⊥平⾯AABB，

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所以：CO⊥平⾯AABB，

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则：∠CAO为直线AC与平⾯BBAA所成⾓，

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进⼀步根据CA=CB=AB=AA=2，解得：CO=${A}_{1}O=\qrt{3}$，

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所以：${A}_{1}C=\qrt{6}$

所以：直线AC与平⾯BBAA所成⾓的正弦值为：

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${inCA}_{1}O=\frac{CO}{{A}_{1}C}$=$\frac{\qrt{2}}{2}$．

解：（3）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA⊥AB，⼜平⾯ABC⊥平⾯AABB，交线为AB，

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所以OC⊥平⾯AABB，故OA，OA，OC两两直．

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以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的⽅向为x轴的正向，|$\overrightarrow{OA}$|为单位长，建⽴空间的坐标系，

可得A（1，0，0），A1（0，$\qrt{3}$，0），C（0，0，$\qrt{3}$），

B（-1，0，0），

则$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\qrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-

1，$\qrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\qrt{3}$，$\qrt{3}$），

设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平⾯BBCC的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}

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{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overr