微分几何第四版习题答案解析梅向明（最全）.doc

微分几何第四版习题答案解析梅向明

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微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念

1、求正螺面EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(r),r)={ucosv,usinv,bv的}坐标曲线、

解u曲-线为EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(r),r)={ucosv,usinv,bv}=｛0,0,bv｝＋u{cosv,sinv,0},

000000

为曲线的直母线;v曲-线为EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up11(r),r)={ucosv,usinv,bv}为圆柱螺线.

00

r

2.证明双曲抛物面r＝｛a(u+v),b(u-v),2uv｝的坐标曲线就就是它的直母线。

r

证u曲-线为r={a(u+v),b(u-v),2uv}={av,bv,0}+u{a,b,2v}表

000000

示过点{av,bv,0}以{a,b,2v}为方向向量的直线;

000

r

v曲-线为r=｛a(u+v),b(u-v),2uv｝=｛au,bu,0｝+v{a,-b,2u}

000000

表示过点(au,bu,0)以{a,-b,2u}为方向向量的直线。

000

3.求球面EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up12(r),r)={acosθsinφ,acosθsinφ,asinθ}上任意点的切平面与法线方程。

解

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微分几何第四版习题答案解析梅向明

任意点的切平面方程为

x一acosθcosφ

一asinθcosφ

一acosθsinφ

y一acosθsinφ

一asinθsinφ

acosθcosφ

z一asinθ

acosθ

0

=0

即xcosθcosφ+ycosθsinφ+zsinθ-a=0;

法线方程为。

4.求椭圆柱面在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲

面只有一个切平面。

解椭圆柱面参数方程为x=cosθ,y=asinθ,z=t,

EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up4(rp),θ)={一asinθ,bcosθ,0},所以切平面方程为:

x一acosθy一bsinθz一t

一asinθbcosθ0=0即,xbcosθ+yasinθ