重庆大学高等数学(2-1)课程期末试卷2.docVIP

命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制

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公平竞争、老实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

《高等数学》〔=2\*ROMANII-1〕期末试卷参考答案

2013~2014学年第一学期

一．单项选择题〔每题3分，共15分〕

〔1〕设，那么当时，有〔C〕。

〔A〕与是等价无穷小

〔B〕与是同价无穷小，但不等价

〔C〕是的高价无穷小

〔D〕是的低价无穷小

〔2〕设为可导函数，且满足条件，那么曲线在点处的法线的斜率为〔C〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

〔3〕设，那么〔A〕。

〔A〕恒为零〔B〕为负常数〔C〕为正常数〔D〕不为常数

〔4〕为〔B〕。

〔A〕〔B〕〔C〕0〔D〕不存在

〔5〕设函数，其表示的曲线的拐点个数为〔B〕。

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

二．填空题〔每空3分，共15分〕

〔1〕。

〔2〕设是由方程确定的可导函数，那么。

〔3〕。

〔4〕设，那么-10

〔5〕2

三．计算题〔每题8分，共40分〕

1．求数列的极限。

解：，....................4分

，.......................7分

。..........................8分

2．设函数，求的间断点，并指出间断点类型。

解：，间断点为。

，.......................................2分，故为跳跃间断点。.....4分

，故为第二类中的无穷间断点。....................6分

，故为可去间断点。..........................................8分

3.计算不定积分。

解：.............................................2分

............................5分

〔或〕..............8分

4.求定积分。

解：令，时，时。............2分

故有：...............................5分

。.......8分

5.讨论积分的敛散性..

解：

令，

〔1〕是常义积分，收敛

〔2〕，发散.................3分

〔3〕，

........6分

综合〔1〕，〔2〕，〔3〕我们得到：

在时收敛，时发散。........................................................8分

四．证明题〔第1小题7分，第2小题8分，共15分〕

1.证明：当时，

证明：设.......................1分

那么..3分

...............................4分

当时，，

所以，从而单调增加。.......5分

又，所以当时，，当时，。于是是函数在内的最小值。.............6分

故当时，

即..............................7分

2．假设在可微，并且，是两个正数。证明：

〔1〕存在一个数使得。

〔2〕存在两个不同的数，满足

证明：〔1〕因为在可微，所以在上连续，............................1分

且，又是两个正数，所以，.....................................2分

根据介值定理有：

，使得。.........................................................................................3分

〔2〕由〔1〕可知：，，，

，根据拉格朗日中值定理有：

，且，使得

...................................................................................