2.1.2两条直线平行和垂直的判定（基础知识 基本题型）（含解析）-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docxVIP

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2.1.2两条直线平行和垂直的判定

（基础知识+基本题型）

知识点一两条直线平行的判定

设两条不重合的直线，的斜率分别为，若，则与的倾斜角与相等，如图3.1-11，由，得，即，因此，若，则；反之，若，则.

提示：

对两直线平行与斜率的关系要注意：

（1）直线成立的前提条件有两个：①与不重合；②斜率都存在.

（2）当两条直线的斜率都不存在且不重合时，与的倾斜角都是，则.

（3）两条不重合直线平行的判定的一般性结论是：，或，的斜率都不存在.

知识点二两条直线垂直的判定

设两条直线的斜率分别为，倾斜角分别为，且都不为直角，若，则（若，则），由三角形任一外角等于其不相邻两内角之和，得.则.

若，则.

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

考点一两条直线平行关系的判定

例1根据下列给定的条件，判定直线与直线是否平行：

（1）经过点，；经过点，；

（2）的斜率为，经过点，；

（3）平行于轴，经过点，；

（4）经过点，，经过点，．

解：（1），，

，所以与不平行．

（2）的斜率，的斜率，即，所以与平行或重合．

（3）由题意，知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以．

（4）由题意，知，，所以与平行或重合．

需进一步研究，，，四点是否共线，．所以，，，四点共线．

所以与重合．

总结升华：判断两条直线平行的注意事项

（1）判断两条直线平行，应首先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等．

（2）判断斜率是否相等，实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两条直线平行的条件：同位角相等，则两直线平行．

（3）在两条直线斜率都存在，且相等的情况下，应注意两条直线是否重合．

考点二两条直线平行关系的应用

例2已知的三个顶点的坐标分别是，，，求顶点的坐标：

分析：由平行四边形的性质，且着手，设出点的坐标，由斜率相等，解方程组求得．

解：设，由题意，得，，则有，，

所以，解得，所以点的坐标为．

总结：解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用解析几何的方法表示并解决．本题就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．

例3已知，，，，若直线直线，则_____．

解析：当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；

当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；

当且时，，．

因为直线直线，所以，即，解得或．

经检验，当或时，直线，都不重合．

综上，的值为或．

答案：或．

考点三两条直线平垂直关系的判定

例4判断与是否垂直：

（1）的斜率为，经过点，；

（2）经过点，；经过点，．

解：（1）设直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以．

（2）设直线，的斜率分别为，，则由，的横坐标相等，得的倾斜角为，则轴；，则轴．故．

总结：判断两条直线是否垂直的依据：当这两条直线都有斜率时，只需看它们的斜率之积是否等于即可．当应注意，当有一条直线与轴垂直，另一条与轴平行时，两条直线也垂直．

考点四两条直线垂直关系的应用

例5已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．

解：设直线，的斜率分别为，，因为直线经过点，，且，

所以的斜率存在．

当时，不存在，，则，此时与垂直．

当时，，此时存在．

由，得．解得．

综上，的值为或．

由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为求解．但在解题过程中要注意讨论直线与轴垂直的情况．此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解．

考点五两条直线平行或垂直的综合问题

例6已知，，，四点，若顺次连接四点，试判断图形的形状．

解：由题意，知，，，四点在坐标平面的位置如图3．1-13，

5D

5

D

y

x

O

A

B

C

2

3

-3

6

图3.1-13

由斜率公式，得，，，．

所以，由图3．1-13，知与不重合，

所以．

因为，所以与不平行．

又因为，所以．

故四边形为直角梯形．

利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤：

描

描点

猜测

求斜率

下结论

在平面直角坐标系中描出给定的点

根据描出的点，猜测图形的形状

根据给定点的坐标求直线的斜率

由斜率之间的关系判断形状

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