一元二次方程与几何问题(学生版)--初中数学四维三难【人教版】.pdf

一元二次方程与几何问题

一、课堂目标

会用一元二次方程解决几何图形面积问题，体验建立数学模型解决问题的一般过程，进一步体会方程思

想．

二、知识讲解

1.列方程解应用题的一般步骤

①审：审题，分析题中已知是什么，求什么，明确各数量之间关系；

②找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；

③设：设未知数（一般求什么，就设什么为未知数）；

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值；

⑥验：检验所求解是否符合题意；

⑦答：写出答案（包括单位名称）．

2.面积问题

利用平移的思想，构造完整图形。

例题1

如图．某小区计划在一个长为、宽为的矩形内部修建三条同样宽的甬路，使其中

两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为，求甬路的

宽度．分析：为了更容易寻找题目中的相等关系，可想象将横、竖甬路平移，这样问题转化为如图

的情况，得到矩形．设甬路的宽度为．

图图

（1）

1

用含的代数式表示：，，矩形的面积为

．

（2）列出方程并完成本题解答．

练习1

1.在一块长、宽的矩形荒地上，要建一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，如果

如图所示设计，并使花园四周小路宽度都相等，那么小路的宽是多少？

2.如图，有一块长米，宽米的矩形草坪，计划沿水平和竖直方向各修一条宽度相同的小路，剩余

的草坪面积是原来的，求小路的宽度．

例题2

1.用总长为的篱笆围成矩形场地．

（1）根据题意，填写下表：

矩形一边长/

矩形面积/

（2）当矩形场地的面积为时，求矩形的长和宽各为多少？

（3）能围成面积为的矩形场地吗？如能，求出矩形的长和宽，如不能，说明理由．

2.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地，求矩形

的长和宽．

练习2

2

如图，要利用一面墙（墙长为米）建羊圈，用米的围栏围成总面积为平方米的三个大小相

同的矩形羊圈，求羊圈的边长、各为多少米？

墙

例题3

有一块长，宽的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把

四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，求这个盒子的容积．

练习3

1.在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个无盖的长方体．

（1）如果剪去的小正方形的边长为，请用来表示这个无盖长方体的容积．

（2）当剪去的小正方体的棱长的值分别为和时，比较折成的无盖长方体的容积的大

小．

2.某同学想用一块面积为的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方向裁出一块面积为

的长方形纸片，使它的长宽之比为，请你用所学过的知识来说明能否用这块纸片裁出符合要求

的纸片．

例题4

3

如图，四边形中，