初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题 .pdfVIP

初中数学巧添辅助--妙解竞赛题

在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的

有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.

1挖掘隐含的辅助圆解题

有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补

出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.

1.1作出三角形的外接圆

例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2

∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.

A

E

BDC

G

F

图1

例2凸四边形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,对角线

AC、BD交于点O,如图2.则sin∠AOB＝____.

CB

O

D

A

P

图2

例3已知：如图3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.

3

求证：△ABC的面积S＝AP·BD.

4

A

B

P

Q

D

CH

图3

2构造相关的辅助圆解题

有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信

息,此时可大胆联想构造出与题目相关

的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.

2.1联想圆的定义构造辅助圆

例4如图4,四边形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求对角线AC的长.

BA

E

C

D

图4

2.2联想直径的性质构造辅助圆

2

例5已知抛物线y＝－x＋2x＋8与x轴交于B、C两点，点D平分BC.若在x轴上侧的A

点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,则AD的取值范围是____.

y

A(1,9)

0

E

PQ

BDCx

(-2,0)(4,0)

图5

2.3联想圆幂定理构造辅助圆

例6AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平行线交AD于M,交AC于N.

22

求证：AB－AN＝BM·BN.

E

A

N

2

F1

35M

4

BDC

图6

例7如图7,ABCD是⊙O的内接四边形,延长AB和DC相交于E,延长AB和DC相交于

222

E,延长AD和BC相交