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江苏省南通市海安市2025届高三上学期11月期中学业质量监测数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知复数，则实数()

A. B. C. D.

2．已知集合，，则()

A. B. C. D.

3．在中，，，则()

A. B. C. D.

4．函数的极大值为()

A.-4 B.0 C.1 D.4

5．在三棱锥中，，与平面所成角的大小为，则()

A.1 B. C. D.2

6．曲线与的交点中，与y轴最近的点的横坐标为()

A. B. C. D.

7．在中，，，，.若，则()

A. B. C. D.

8．在正四棱柱中，，P是线段上靠近C的三等分点，过点C与直线垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为()

A. B.2 C. D.3

二、多项选择题

9．在空间中，设a，b，c是三条直线，，，是三个平面，则下列能推出的是()

A.，

B.，，

C.，，，

D.，，，

10．已知函数，则()

A.的最大值为1 B.是曲线的对称中心

C.在上单调递减 D.的最小正周期为

11．设为R上的增函数，满足：，，则()

A. B.为奇函数

C.， D.，

三、填空题

12．在平面直角坐标系中，曲线上的两点A，B满足，线段的中点M在x轴上，则点M的横坐标为___________.

13．已知圆O的半径为2，点A，B在圆O上，点C在圆O内，且，则的最小值为___________.

四、双空题

14．已知函数的一个单调减区间为，则___________，___________.

五、解答题

15．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且.

(1)求A；

(2)若的面积为，周长为6，试判断的形状

16．设抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，记P在l上的射影为H.

(1)能否为正三角形？若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由；

(2)设C在点P处的切线与l相交于点Q，证明：.

17．如图，在三棱锥中，平面，D是的中点，平面平面，且.

(1)求点A到平面的距离；

(2)求平面与平面的夹角的正弦值

18．已知函数，其中.

(1)若曲线在点处的切线过原点，求a；

(2)当时，证明：；

(3)若在上单调递增，求a的取值范围

19．如果数列，，，…，是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列

(1)写出所有满足的数列；

(2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；

(3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值

参考答案

1．答案：B

解析：因为，

若，

即，

可得，

解得.

故选：B.

2．答案：A

解析：由题意可知，

所以，

则.

故选：A

3．答案：B

解析：因为，，

可知，

则，

且，

所以.

故选：B.

4．答案：D

解析：，

令，则，

令，则或，

所以在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极大值.

故选：D

5．答案：C

解析：取的中点D，连接，

因为，

则，，

且，，平面，

可得平面，

又因为平面，

所以平面平面，

且平面平面，

由面面垂直的性质可知：点P在平面内的投影落在直线上，

且，可知点P在平面内的投影落在线段内，

又因为与平面所成角的大小为，则，

可知为等边三角形，所以.

故选：C.

6．答案：B

解析：由，

可得，

即，

则，

则，

即，

故取最小值时，.

故选：B

7．答案：C

解析：因为，，

所以，

又，

所以，

则，

解得：，.

故选：C

8．答案：B

解析：分别取靠近B的三等分点N，

取靠近D的三等分点M，

取靠近的三等分点Q，

连接，，，，，，，

建立如下图所示空间直角坐标系，

不妨设，

所以，，，

所以，

所以，

且C，N，M，Q不共线，

所以C，N，M，Q共面，

又因为，

所以，

因为，

所以，

因为，

所以，且，

所以平面，

较小部分的几何体如下图所示，

其体积为，

由正四棱柱结构特点易知平面，

平面，

所以，

所以较大部分体积，

所以较大部分与较小部分的体积比为2，

故选：B.

9．答案：BD

解析：对于选项A，如图，在正方体中，

取直线为a，直线为b，直线为c，

显然有，，

但，所以选项A错误，

对于选项B，由线面平行的性质可知，选项B正确，

对于选项C，如图，在正方体中，取平面为，

平面为平面，平面为，

显然满足，，

又，，

且，即a，b相交，所以选项C错误，

对于选项D，因为，则，

又，则，，又，

显然有，所以，

又，，

所以，故选项D正确，

故选：BD.

10．答案：ABD

解析：由题意可知：的定义域为R，

对于选项A：