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初中抛物线经典练习题(含详细答案)

初中数学抛物线经典试题集锦，编著者为黄勇权。以下为

题目和解答。

第一组题型】

1、已知二次函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$

1）求此二次函数的解析式；

2）在抛物线上存在一点$p$使$\triangleABP$的面积为15，

请直接写出$p$点的坐标。

解：

第一问】

因为函数$y=x^2+bx+c$过点$A(2,0)$，$C(0,-8)$，分别将

$x=2$，$y=0$代入$y=x^2+bx+c$，得$0=4+2b+c$①。将

$x=0$，$y=-8$代入$y=x^2+bx+c$，得$-8=c$②。将

②代入①，解得：$b=2$③。此

时，将②③代入$y=x^2+bx+c$，所以二次函数的解析式为

$y=x^2+2x-8$。

第二问】

因为$A$、$B$两点在$x$轴上，令$x^2+2x-8=0$，解得：

$x_1=2$，$x_2=-4$。所以$|AB|=|x_1-x_2|=|2-(-4)|=6$。又

$\triangleABP$的面积为15，所以$|y_p|\cdot6=30$，即

$|y_p|=5$。故$p$点的纵坐标为5或-5，即$p(2,5)$或$p(2,-5)$。

2、在平面直角坐标系$xOy$中，抛物线

$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$。

1）求抛物线的表达式及对称轴；

2）设点$B$关于原点的对称点为$C$，写出过$A$、

$C$两点直线的表达式。

解：

第一问】

因为抛物线$y=2x^2+mx+n$经过点$A(5,B)$，$B(2,-6)$，

分别将$x=5$，$y=B$代入$y=2x^2+mx+n$，得$B=50+5m+n$-

①。将$x=2$，$y=-6$代入$y=2x^2+mx+n$，得$-

6=8+2m+n$②。将②代入①，解得：$m=-4$，$n=-

4$。此时，抛物线的表达式为$y=2x^2-4x-4$。对称轴为$x=-

\frac{m}{2}=2$。

第二问】

因为点$B$关于原点的对称点为$C(-2,6)$，所以直线

$AC$的斜率为$\frac{6-B}{-2-5}=-\frac{2}{3}$，即直线

$AC$的表达式为$y-B=\frac{2}{3}(x-5)$。直线$BC$的斜率为

$\frac{6-(-6)}{-2-2}=3$，即直线$BC$的表达式为$y+6=3(x-2)$。

3、在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线的顶点

$C(2,4)$，并在$x$轴上截得的长度为6.

1）写出抛物线与$x$轴交点$A$、$B$的坐标；

2）求该抛物线的表达式；

3）写出抛物线与$y$轴交点$P$的坐标。

解：

第一问】

因为已知抛物线在$x$轴上截得的长度为6，所以抛物线

与$x$轴的交点为$A(-1,0)$，$B(5,0)$。

第二问】

因为抛物线的顶点为$C(2,4)$，所以抛物线的对称轴为

$x=2$。设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c$，则由$A(-1,0)$，

$B(5,0)$，$C(2,4)$可列出方程组：

begin{cases}a-

b+c=0\\25a+5b+c=0\\4a+2b+c=4\end{cases}$$

解得：$a=-1$，$b=2$，$c=1$。此时，抛物线的表达式为

$y=-x^2+2x+1$。

第三问】

抛物线与$y$轴的交点为$(0,c)=(0,1)$。

4、直线的解析式为$y=2x+4$，交$x$轴于点$A$，交

$y$轴于点$B$，若以$A$为顶点，且开口向下作抛物线，交直

线$AB$于点$D$，交$y$轴负半轴于点$C$。

1）若$\triangleABC$的面积为20，求此时抛物线的解析

式；

2）若$\triangleBDO$的面积为8，求此时抛物线的解析式。

解：

1）设抛物线的顶点为$V$，则$V$在直线$y=2x+4$上。

设$V$的坐标为$(x_0,y_0)$，则直