2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学检测试卷.docx

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高三上学期期中考试数学

检测试卷

第Ⅰ卷选择题（68分）

一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有1个选项符合题意.

1.集合，则（）

A. B.R C. D.?∞,1

2.已知复数，则下列结论正确的是（）

A. B.的虚部是

C.在复平面对应的点位于第三象限 D.

3设向量，则（????）

A.“”是“”的必要条件 B.“”是“”的必要条件

C.“x=0”是“”的充分条件 D.“”是“”的充分条件

4.设等差数列的前项和为，且满足，则当取得最小值时，的值为（）

A.10 B.12 C.15 D.24

5.若，则（）

A. B. C. D.

6.已知函数，且满足，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.将函数的图象向左平移个单位长度得到如图所示的奇函数的图象，且的图象关于直线对称，则下列选项不正确的是（）

A.在区间上为增函数 B.

C. D.

8.已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为

A.2 B. C.3 D.

9.已知是定义在上奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为（）

A. B.4 C.8 D.或8

10.已知函数的定义域为，且满足的导函数为，函数为奇函数，则（）

A. B.3 C. D.1

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的4个选项中有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

11.已知a0，b0，且a+b=1，则（）

A B.

C. D.

12.等差数列中，，则下列命题正确的是（）

A.若，则

B.若，，则

C.若，，则

D若，则，

13.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）

A.

B.在向量上的投影向量为

C.若，则为的中点

D.若在线段上，且，则的取值范围为

第II卷非选择题（82分）

三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

14.函数在点处的切线方程为___________.

15.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是__________.

16.设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________.

四、解答题：本题共4小题，共64分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知向量，，且函数在上的最大值为．

（1）求常数的值；

（2）求函数的单调递减区间．

18.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当，证明.

19.内角的对边分别为，，，满足.

（1）求证：；

（2）求的最小值.

20.欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：

（1）将复数表示成（，为虚数单位）的形式；

（2）求的最大值；

（3）若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．