（浙江版）高考数学复习： 专题5.5 数系的扩充和复数的引入（讲）.docVIP

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第05节数系的扩充和复数的引入

【考纲解读】

考点

考纲内容

5年统计

分析预测

数系的扩充和复数的引入

1．理解复数的定义、复数的模和复数相等的概念.

2．了解复数的加、减运算的几何意义.

3．掌握复数代数形式的四则运算.

2013?浙江文2，理1；

2014?浙江文11；理2；

2017?浙江12.

1.以考查复数的运算（特别是乘法）为主，基本稳定为选择题或填空题，为容易题；

2.从各地高考命题看，考查复数的运算、概念相结合，复数的运算与复数的几何意义相结合，命题比较灵活，题型稳定，均为容易题.

3.备考重点：

理解有关概念是基础，掌握复数代数的四则运算法则是关键，熟、快、准是得分的保障.

【知识清单】

1．复数的有关概念及性质

1．虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立．

2．复数的概念

形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

①当b＝0时，复数a＋bi为实数；

②当b≠0时，复数a＋bi为虚数；

③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数．

3.复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)?a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0?a＝b＝0.

4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

5.复数的模

向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋bi)).即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋bi))＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．

对点练习：

【2017浙江台州4月一模】已知复数z=1+aii(a∈R)的实部为1，则a=_________，

【答案】12

【解析】z=1+aii=a-i，实部a=1，所以z=1-i

2．复数的几何意义

1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)．

2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．

对点练习：

【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

3.复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；

(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

(3)eq\f(z1,z2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(z2≠0)．

2..

对点练习：

【2017浙江,12】已知a，b∈R，（i是虚数单位）则，ab=．

【答案】5，2

【解析】由题意可得，则，解得，则

【考点深度剖析】

从近几年高考命题看，复数往往有一道选择题或填空题，属于容易题.主要考查的方向有两个，一是复数的概念及运算，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念以及复数的运算；二是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.偶有与其它知识综合的简单题，以考查复数的运算居多．

【重点难点突破】

考点1复数的有关概念及性质

【1-1】下列命题中：

(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；

(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数；

(3)若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；

(4)x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；

(5)若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应．

其中正确命题的个数是()

A．0B．1C．2D．3

【答案】A

【解析】

(4)只有当x，y∈R时命题才正确．

(5)若a＝0，则0·i＝0不是纯虚数．故选A.

【1-2】(1)i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()

A．－3B．－1C．

(2)若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________.

【答案】（1）D；（2）3.

【解析】(1)复数a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(10（3＋i）,10)＝(a－3)－i为纯虚数，∴