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****(L.P371第一节)(L.P373表6-1)(参考L.P374说明②)****(L.P374,5)****(L.P384,1)****(L.P.395第三节)(L.P396,(2))****级数的收敛、求和与展开求和展开(在收敛域内进行)基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数)时,时为数项级数;时为幂级数;一、数项级数的审敛法1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:若且则交错级数收敛,概念:且余项若收敛,称绝对收敛若发散,称条件收敛均收敛,且01证明级数02收敛.03证:04则由题设05收敛06收敛07收敛08例1.若级数提示:(1)因调和级数发散,据比较判别法,原级数发散.010203例2.判别下列级数的敛散性:用比值法,可判断级数因n充分大时∴原级数发散.用比值判别法可知:时收敛;时,与p级数比较可知时收敛;时发散.再由比较法可知原级数收敛.时发散.发散,收敛,利用比值判别法,可知原级数发散.例3.设正项级数和也收敛.提示:因?存在N0,又因利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛,证明级数当nN时收敛,且是否也收敛？说明理由.但对任意项级数却不一定收敛.问级数提示:对正项级数,由比较判别法可知级数收敛,收敛,级数发散.例如,取例4.设级数例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:提示:(1)1时,绝对收敛;p≤1时,条件收敛;原级数绝对收敛.故因各项取绝对值后所得强级数p≤0时,发散.01020304单调递减,且但所以原级数仅条件收敛.因05由Leibniz判别法知级数收敛;01因02所以原级数绝对收敛.再讨论通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性.例7.求下列级数的敛散区间:?非标准形式幂级数?标准形式幂级数:先求收敛半径R,二、求幂级数收敛域的方法解:01当02因此级数在端点发散,03时,04时原级数收敛.05故收敛区间为06解:因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散;三、幂级数和函数的求法?求部分和式极限求和?映射变换法逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值求部分和等?初等变换法:分解、套用公式（在收敛区间内）?数项级数求和例1.求幂级数法1易求出级数的收敛域为先求出收敛区间法2则设和函数为求下列幂级数的和函数：例2.解:(1)显然x=0时上式也正确,故和函数为而在x≠0级数发散,显然x=0时,和为0;壹贰根据和函数的连续性,有叁x=?1时,肆级数也收敛.伍即得*****(L.P371第一节)(L.P373表6-1)(参考L.P374说明②)****(L.P374,5)****(L.P384,1)****(L.P.395第三节)(L.P396,(2))*****
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