专题37 因式分解-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（原卷版）.pdf

专题37因式分解

一、十字相乘

【学霸笔记】

利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：

1.二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法

对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式

进行因式分解.

对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解

成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.

技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，

则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；

技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和

能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.

2.二次项系数不为1的十字相乘

在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以

分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：

按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系

数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即

.

PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.

【典例】若能分解成两个一次因式的积，则的值为（）

A.1B.C.D.2

【解答】C

【解析】，可分解成或，

分以下两种情况考虑：

由①可得m＝1，由②可得，故选C.

【巩固】求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数.

二、利用因式分解计算求值

【典例】已知x、y是二元一次方程组x―2y=3的解，则代数式x2﹣4y2的值为．

2+4=5

【解答】解：x―2y=3①，

2+4=5②

①×2﹣②得

﹣8y＝1，

1

y=―，

8

1

把y=―代入②得

8

1

2x―=5，

2

11

x=，

4

11115

222―4×(―)2=

x﹣4y＝（），

482

15

故答案为：．

2

200422003×(200422005)200532004×(200522006)

【巩固】设a=2003×(200222001)20023，b=2004×(200322002)20033，则a、b的大小关系是

（）

A．a＞bB．a＝bC．a＜bD．无法确定

三、利用因式分解证明

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【典例】求证：当n为整数时，