专题37 中考命题核心元素含60°角的问题的解题思路（解析版）.pdf

专题37含60°角的问题的解题思路（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

模型一共顶点双等边三角形模型

1．（2021秋•监利市校级期中）如图1，B，C，E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，

BD与AC交于点M，AE与CD交于点N．

（1）求证：AE＝BD；

（2）如图2，连接MN，试探究MN与BC的位置关系，并证明你的结论；

思路引领：（1）由等边三角形的性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，再根据SAS证明

△BCD≌△ACE即可得出结论；

（2）由ASA证明△BCM≌△ACN得出CM＝CN，从而得出△CMN是等边三角形，即可推出MN∥

BC．

（1）证明：∵△ABC和△DCE均为等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∵∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°，

∴∠ACD＝60°，

∵∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠DCE，

∴∠BCD＝∠ACE，

在△BCD与△ACE中，

=

∠=∠，

=

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴BD＝AE；

（2）BC∥MN，理由如下：

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CBM＝∠CAN，

在△BCM与△ACN中，

∠=∠

=，

∠=∠

∴△BCM≌△ACN（ASA），

∴CM＝CN，

∵∠MCN＝60°，

∴△CMN是等边三角形，

∴∠CMN＝60°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠CMN＝∠ACB，

∴MN∥BC．

总结提升：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

针对训练

1．（2022秋•前郭县期中）如图①，点C在线段AB上（点C不与A，B重合），分别以AC，BC为边在AB

同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点P．

（1）观察猜想：

①AE与BD的数量关系为．

②∠APD的度数为；

（2）数学思考：

如图②，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成

立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展应用：

如图③，点E为四边形ABCD内一点，且满足∠AED＝∠BEC＝90°，AE＝DE，BE＝CE．对角线AC，

BD交于点P，AC＝10，则四边形ABCD的面积为．

思路引领：（1）①根据等边三角形的性质可得到CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，进一步

得到∠ACE＝∠DCB，再证明△ACE≌△DCB，可得结论；

②根据全等三角形的性质可得∠CAO＝∠ODP，再结合∠AOC＝∠DOP求出∠ADP的度数；

（2）结论不变，证明方法类似；

1111

（3）证明AC⊥BD，S四边形ABCD=•AC•DP+•AC•PB=•AC•（DP+PB）=•AC•BD．

2222

解：（1）①设AE交CD于点O．

∵△ADC，△ECB都是等边三角形，

∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，

∴∠ACE＝∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

=

∠=∠，

=

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE＝BD．

故答案为：AE＝BD；

②∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAO＝∠ODP，

∵∠A