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几何中的动点问题
1.(2023•耿马县一模)如图,在RtDABC中,ÐABC=90°,D、E分别为AC、BC的中
点,连接DE并延长DE至点F,且DE=EF,点P为直线BC上的一个动点.
(1)求证:四边形BFCD为菱形.
(2)若AB=6,菱形BFCD的面积为24,求DP+AP的最小值.
【解答】(1)证明:QE是BC的中点,
\CE=BE,
QDE=EF,
\四边形BFCD是平行四边形,
QD、E分别为AC、BC的中点,
1
\DE//AB,DE=AB,
2
QÐABC=90°,
\ÐCED=90°,
\四边形BFCD为菱形;
(2)解:Q四边形BFCD为菱形,
\D、F关于BC对称,
\当P为AF与BC的交点时,DP+AP最小,最小值为AF的长,
过F作FQ^AB交AB的延长线于点Q,
QAB=6,菱形BFCD的面积为24,
\BC=8,
\FQ=BE=4,BQ=EF=3,
\AQ=9,
\AF=AQ2+FQ2=97.
2.(2023•浦东新区二模)已知:eO的直径AB=10,C是AB的中点,D是eO上的一个
动点(不与点A、B、C重合),射线CD交射线AB于点
E.
(1)如图1,当BE=AB时,求线段CD的长;
(2)如图2,当点D在BC上运动时,连接BC、BD,DBCD中是否存在度数保持不变的
角?如果存在,请指出这个角并求其度数;如果不存在,请说明理由;
(3)联结OD,当DODE是以DE为腰的等腰三角形时,求DODE与DCBE面积的比值.
【解答】(1)解:如图1,连接OC、BC、AD,
QC是AB的中点,OC是半径,
\OC^AB,
QBE=AB=10,
\AE=AB+BE=20,OE=OB+BE=5+10=15,
\CE=OC2+OE2=52+152=510,
QÐDAE=ÐBCE,ÐAED=ÐCEB,
\DADE∽DCBE,
AEDE
\=,
CEBE
20DE
\=,
51010
\DE=410,
\CD=CE-DE=510-410=10.
(2)ÐBDC不变,ÐBDC=135°.
如图2,连接AC,
QC是AB的中点,
\AC=BC,
QAB是eO的直径,
\ÐACB=90°,
\ÐCAB=45°,
QÐCAB+ÐBDC=180°,
\ÐBDC=180°-ÐCAB=180°-45°=135°.
(3)解:①如图3,当点E在AB的延长线上时,OD=DE,
QAB=10,
\OD=OC=DE=5,
QC是AB的中点,
\OC^AB,
\ÐDOE+ÐCOD=90°,
ÐDEO+ÐOCD=90°,
QDE=DO,
\ÐDOE=ÐDEO,
\ÐCOD=ÐOCD,
\CD=OD,
\CD=OD=OC,
\DOCD是等边三角形,
\CE=DE=5,CE=10,
2222
\OE=CE-OC=10-5=53,
\BE=OE-OB=53-5,
1
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