专题36 中考命题核心元素含45°角的问题的几种解题思路（解析版）.pdf

专题36含45°角的问题的几种解题思路（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

思路1：套用半角模型常用结论．

模型解读：

常用结论：如图①，BM＋DNMN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周长2AB.

常用证明方法：如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABN′，证明△AMN≌△AMN′.

222

常用结论：如图③，BP＋QDPQ.

常用证明方如图④，在正方形ABCD中，ADa，点M，N分别在BC，CD边上，且∠MAN45°.

拓展结论：

(1)BM＋DNMN；

(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；

(3)△CMN的周长2a(为定值)；

(4)S△ABM＋S△ADNS△AMN；

MN

(5)的最小值为22－2；

AB

2

(6)S△AMN的最小值为(2－1)a；

2

(7)S△CMN的最大值为(3－22)a；

222

(8)BP＋QDPQ；

(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；

2

(10)BQ·DPAB·ADa(定值)；

(11)△APQ∽△ANM(相似比为1∶)；

2

(12)S△AMN2S△APQ；

(13)P，M，N，Q四点共圆；

(14)△AMC∽△AQD(相似比为1∶)；

2

(15)CM·CN2BM·DN；

(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；

(17)△APN与△AQM均为等腰直角三角形；

(18)A，B，M，Q四点共圆；

(19)A，P，N，D四点共圆．

法：将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△ADP′，证明△AQP≌△AQP′.

思路2：作垂直，将45°角置于直角三角形中，构造等腰直角三角形解决问题．

思路3：利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，构造直角三角形，解决问题．

思路4：利用两角和或差的正切公式

；

典例1在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°

时，求点C的坐标．

思路引领：由于本题没有交代点C在y轴正半轴上还是负半轴上，因此这道题点C的位置需要分两种

情况讨论，这两个位置正好关于x轴对称，因此我们只需求解点C在y轴正半轴上的情况，然后由对称性

求出点C在y轴负半轴上的情况．

方法1：如图①，以45°角为基础，构造等腰直角三角形，由△BCF与△BDE全等，设法求出OC的

长．

方法2：如图②，同方法1构造等腰直角三角形BCD，过点D作DH⊥x轴于点H，其实这一方法与前

一方法类似，因为△BOC与图①中的△CFB全等，△BDH与图②中的△DBE全等，求OC长的时候，可利

用△AOC与△ADH相似来解决．

方法3：如图③，构造等腰直角三角形，还可以过点B作BK⊥AC于点K来解决．

方法4：过点A作BC的垂线，解题方法同方法3.

方法5：如图④，利用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，将45°角转化为90°角来解决问题．

方法6：利用两角和的正切公式容易轻松求解。

例1图

选择方法5和方法6解

方法5解：设线段AB的中点为E，

∵点A（4，0）、B（﹣6，0