河北省沧州市沧县中学2024届高三下学期3月高考模拟测试数学（解析版）.docxVIP

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2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试

数学试卷

本试卷共150分考试时间120分钟

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.复数的实部为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，化简得到

【详解】根据复数的运算法则，求得，

所以复数的实部为.

故选：A.

2.已知集合，，，则集合的子集共有（）

A.2个 B.3个 C.4个 D.8个

【答案】C

【解析】

分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数.

【详解】因为，又，

所以，所以，则集合的子集共有个．

故选：C

3.已知向量与的夹角为，且，，则（）

A. B. C.4 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意和平面数量积的定义可得，结合计算即可求解.

【详解】由题意可得，，

所以．

故选：A

4.已知有5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站在中间，则不同的站法种数为（）

A.32 B.36 C.40 D.42

【答案】C

【解析】

【分析】先安排前排，再安排后排，利用分步乘法计数原理进行求解.

【详解】先排前排，有种站法，后排3人中身高最高的站中间，则两边的人有种站法，

则有种站法．

故选：C

5.已知在三棱锥中，，则直线与平面所成的角的正弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，设是正四面体的4个顶点，结合正四面体的性质和线面角的定义与计算，即可求解.

【详解】设是正四面体的4个顶点，

则点在平面的射影是正三角形的中心D,

再设，则，可得，

则高，

则直线与平面所成的角的正弦值．

故选：D.

6.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量满足函数模型（，），其中为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：，）

A.12 B.13 C.14 D.15

【答案】D

【解析】

【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得，由，解不等式即可求解.

【详解】由题意知，，

当时，，故，解得，

所以．

由，得，即，

得，又，

所以，

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．

故选：D

7.已知抛物线的焦点为F，直线l交抛物线T于A，B两点，M为线段的中点，过点M作抛物线T的准线的垂线，垂足为N，若，则的最大值为（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，，如图，根据抛物线的定义和梯形的中位线的性质可得，结合基本不等式的应用即可求解.

【详解】设，，因为，所以，

所以，过点A，B分别作，垂直准线于点G，W，

由抛物线的定义可知，，

由梯形的中位线可知．

因为，所以，

当且仅当时，等号成立，所以

所以，故的最大值为．

故选：B

8.某包装设计部门为一球形塑料玩具设计一种正四面体形状的外包装盒（盒子厚度忽略不计），已知该球形玩具的直径为2，每盒需放入10个塑料球，则该种外包装盒的棱长的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的面都相切，从而计算出棱长的最小值.

【详解】设正四面体的棱长为，高为，内切球半径为

则，可得，

又，可得，

即正四面体的高等于其棱长的，正四面体的内切球的半径等于其棱长的．

如图，10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每层的小球个数依次为1，3，6．

当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位