2.2.1 直线的点斜式方程（基础知识 基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册） (1).docxVIP

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2.2.1直线的点斜式方程

（基础知识+基本题型）

知识点一直线的点斜式方程

1．方程由直线上一定点及其斜率确定，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．适用于斜率存在的直线．

2．如果直线过点，且与轴垂直，这时倾斜角为，，即，由点斜式，得直线方程为，如图．

xy

x

y

O

3．如果直线过点，且与轴垂直，此时它的倾斜角为（直线与轴平行或重合），斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为，如图．

xy

x

y

O

注意：

（1）经过坐标平面内定点的直线有无数条，可分为两类：①斜率存在的直线方程为；②斜率不存在的直线方程为．

（2）要注意到与是不同的，前者表示的直线上缺少一个点，后者是整条直线的方程．

知识点二直线的斜截式方程

我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距．

若直线的斜率为，且在轴上的截距为，则直线的方程为，即，这个方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．

1.斜截式方程

（1）斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在，几种特例如下：

表示过原点的直线

，

表示与轴平行的直线

，

表示轴

（2）斜截式与一次函数的解析式相同，都是的形式，但有区别，当时，即为一次函数；当时，不是一次函数，一次函数必是一条直线的斜截式方程．

（3）截距

①直线的斜截式方程是由点斜式推导而来的．直线与轴的交点的纵坐标称为此直线的纵截距．值得强调的是，截距可能是正数，也可能是负数，还可能是，不能将其理解为“距离”而恒为非负数．

②直线与轴的交点的横坐标称为此直线的横截距．并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线没有纵截距，直线没有横截距．

2.点斜式与斜截式的关系

（1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，即过定点，它们都不能表示斜率不存在的直线．

（2）在直线方程的各种形式中，点斜式是最基本的形式，它是推导其他形式的基础．

（3）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式，点斜式的形式不唯一，而斜截式的形式是唯一的．

考点一求直线的点斜式方程

例1根据条件写出下列直线的方程：

（1）过点，斜率是；

（2）过点，倾斜角为；

（3）过点，且与轴平行；

（4）过点和．

解：（1）由点斜式方程可知，所求直线的方程为．

（2）由题意，知直线的斜率，

故所求直线的方程为．

（3）因为直线与轴平行，斜率不存在，所以直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是，故这条直线的方程为．

（4）因为直线经过点和，所以斜率．

由点斜式，得．

总结：求直线的点斜式方程的方法步骤

是确定点

是

确定点

方程为

求出斜率

由点斜式写方程

斜率是否存在？

否

考点二求直线的斜截式方程

例2写出下列直线的斜截式方程：

（1）斜率是，在轴上的截距是；

（2）倾斜角为，在轴上的截距是；

（3）倾斜角为，在轴上的截距是．

解：（1）．

（2）因为，所以．

（3）因为，所以．

总结：直线的斜截式方程不仅形式简单，而且特点明显，是直线的斜率，是直线在轴上的截距，只要确定了，的值，直线的图象就一目了然．另外直线的斜截式方程为，不要记成．

例3已知直线的方程为，的方程为，直线与平行且与在轴上的截距相同，求直线的斜截式方程．

解：由斜截式方程，知直线的斜率，又因为，所以的斜率．

由题意，知在轴上的截距为，

所以在轴上的截距为，由斜截式，得直线的方程为．

考点三由平行或垂直的条件求直线方程

例4已知直线的方程为，直线过点．

（1）当时，求的方程；

（2）当时，求的方程.

解：设的斜率分别为.

（1）因为,所以.又因为过点,

所以的方程为,即.

（2）因为，所以.所以.又因为过点,

所以的方程为，即.

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