江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学检测试卷.docx

江西省萍乡市2024-2025学年届高三上学期月考数学检测试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数，．那么如下说法中错误是（）

A. B.在第二象限

C.若，那么 D.

2.已知是椭圆两个焦点，点在上，且，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

3.如下图所示，边长为a的正方体成周期性排列，在正方体的各个角以及每个面的中心有原子分布的晶体结构，我们称之为面心立方结构.若要将这一个立方体上的14个点染上红黄蓝三种颜色，使得被一条线段连接的两个点不能染上同一种色，那么不同染色方案的种数是（旋转和镜像对称后重合的视为同一种）（）

A.3 B.6 C.9 D.12

4.函数的大致图象是（）

A. B.

C. D.

5.我们称两个正整数和互素，当且仅当和的最大公因数是1，我们定义是小于的正整数中和互素的数的个数，例如．是因为小于6的数中只有1与5和6互素．那么以下说法错误的是（）

A.有无限多个正整数使

B.有无限多个正整数使

C.的解只有1和2

D.对于任意正整数，都有使得

6.已知个两两互不相等的复数，满足，且，其中；，则的最大值为（）

A.3 B.4 C.5 D.6

7.若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）

A. B. C. D.

8.已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（）

A. B.0 C.e D.1

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数和，有.

②等式条件：当且仅当时，等号成立.

例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（）

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

10.已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（）

A. B.

C. D.的面积等于的面积

11.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，则下列说法正确的是（）

A.过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2

B.四面体ABCD的体积为

C.AC与BD的公垂线段的长为

D.过E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．

13.已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是______．

14.设严格递增的整数数列，，…，满足，.设为，，…，这19个数中被3整除的项的个数，则的最大值为________，使得取到最大值的数列的个数为________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在川大附中2024秋季教职工运动会拔河比赛中，高一、高二、高三三个年级组和行政组共四个队伍角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”：

第一轮，四个队伍通过抽签分成两组，每组两个队伍对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；

第二轮，“胜区”中两个队伍对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两个队伍对阵，败者直接淘汰出局获第四名；

第三轮，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名；

第四轮，“决赛区”两个队伍进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.

已知高二和高三年级组水平相当，高一和行政组水平相当，高二对高三、高一对行政组的胜率均为，高二、高三对高一和行政组的胜率均为，没有平局，且不同对阵的结果相互独立.经抽签，第一轮由高二对阵高三，高一对阵行政组.

（1）求比赛结束时，高二比赛的场次是2场的概率；

（2）若已知高二输了第一轮的比赛，求高二获得冠军的概