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应用二次函数求面积的最值
吴复
二次函数是初中数学的重要内容之一，应用它可探求几何图形面积的最值，而这类问
题又是中考及竞赛的典型题型。下面举几例，说明其应用。
例1如图1，已知正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的一个动点，QP⊥AP交
DC于Q点。问：当点P在何位置时，△ADQ的面积最小？并求出其面积。
解：设BP=x，则
PC=4-x，S=y，
△ADQ
1
得y=4·DQ=2DQ，
2
11
所以DQy,CQ4y。
22
可知∠B=∠APQ=∠C=90°。
因为△ABP~△PCQ，
ABBP
所以，
PCCQ
4x
所以，
4x1
4y
2
1
2
整理，得yx2x8。
2
所以当BP=2时，y取最小值为6。
2
例2若y=x-(k-1)x-k-1与x轴的交点为A、B，顶点为C，那么△ABC的面积的最小
值为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
2
解：由于Δ=(k-1)+4(k+1)
2
=（k+1）+4＞0。
故对于任何实数k，抛物线与x轴总有两个交点，设这两点的横坐标分别为x、x，则
12
AB(xx)2
12
2
=(xx)4xx
1212
2
=k2k5
k12
k2k5
因为抛物线的顶点C坐标为（，-），
24
所以S
△ABC
12
k2k5
2|
k2k5·|-
24
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1
23
=(k2k5)。
8
2
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