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第四章代数系统

本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更

为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和

特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代

数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也

较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上

的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。

前三章内容是本章的基础，熟练地掌握集合、关系、

函数等概念和性质是理解本章内容的关键。

主要内容如下：

4.1运算4.3代数系统的同态和同构

代数系统4.2代数系统4.4代数系统的积代数

1

本章教学要求及重点难点

理解代数系统的概念

理解单位元、零元、幂等元、逆元的概

念；

理解同态和同构的概念；

重点：证明一个系统是代数系统，证明

两个代数系统的同态和同构。

难点：证明两个代数系统的同构。

2

§4.1运算

运算：把一个集合的若干元素按规定的个数、顺序和

要求，转化成该集合的另一些元素，得到另一个

子集合，我们把这个过程称为运算。

集合上的运算：设有集合A，函数f:An→A称为

集合A上的一个n元运算。n称为这个

运算的阶

特别地，函数f:A2→A称为集合A上的二元运算；

函数f:A→A称为集合A上的一元运算。

§4.1运算

有关习题：p91习题4-2p79练习4.1.2

3

例：对函数f:A3→A，使得对任意的f是A上的一个

(a，a，a)∈A3，f(a，a，a)＝a三元运算

ijkijkj

例：～：I→I～(x)＝－x+7

这是整数集合上的一元运算

+：I2→I+(x，x)＝x+x

1212

这是整数集合上的二元运算

∩：2U×2U→2U∩(S，S)＝S

123

这是幂集上的二元运算

集合的交、并可看作是全集U的幂集2U上的

二元运算；求补运算是2U上的一元运算

例

有关习题：p91习题4-2p79练习4.1.2

4

练习

1，－：I2→I－(x，y)＝x－y

这是否整数集合上的二元运算

2，－：N2→N－(x，y)＝x－y

这是否自然数集合上的二元运算

练习

有关习题：p91习题4-2p79练习4.1.2

5

封闭：如果作用在一个集合A的元素上的运算，

其运算结果也仍然是集合A中的元素，那