2024年向量知识点汇总.doc

向量知识點汇總

1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二個要素：大小、方向

2向量的表达措施：①用有向线段表达；②用字母ａ、ｂ等表达；

3零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量

4平行向量定义：①方向相似或相反的非零向量叫平行向量；

②我們规定0与任历来量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ

5相等向量定义：長度相等且方向相似的向量叫相等向量

6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量

7向量的加法：求两個向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

8．向量加法的互换律：+=+

9．向量加法的結合律：(+)+=+(+)

10．向量的減法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a?b=a+(?b)

11．差向量的意义：=a,=b,则=a?b

即a?b可以表达為從向量b的终點指向向量a的终點的向量

12．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一种向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ0時λ与方向相似；λ0時λ与方向相反；λ=0時λ=

13．运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ

14．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一种非零实数λ，使=λ

15．平面向量基本定理：假如，是同一平面内的两個不共线向量，那么對于這一平面内的任历来量，有且只有一對实数λ1，λ2使=λ1+λ2

16．平面向量的坐標表达

分别取与轴、轴方向相似的两個單位向量、作為基底任作一种向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐標，记作

17．平面向量的坐標运算

若，，

则，，

若，，则

18．∥(?)的充要条件是x1y2-x2y1=0

19．线段的定比分點及λ

P1,P2是直线l上的两點，P是l上不一样于P1,P2的任一點，存在实数λ，

使=λ，λ叫做點P分所成的比，有三种状况：

λ0(内分)(外分)λ0(λ-1)(外分)λ0(-1λ0)

20、定比分點坐標公式：

若點P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ為实数，且＝λ，则點P的坐標為（），我們称λ為點P分所成的比

22點P的位置与λ的范围的关系：

①當λ＞０時，与同向共线，這時称點P為的内分點

②當λ＜０()時，与反向共线，這時称點P為的外分點

23线段定比分點坐標公式的向量形式：

在平面内任取一點O，设＝ａ，＝ｂ，

可得=

24．力做的功：W=|F|?|s|cos?，?是F与s的夹角

25．两個非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

26．平面向量数量积（内积）的定义：已知两個非零向量ａ与ｂ，它們的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫ａ与ｂ的数量积，记作a?b，即有a?b=|a||b|cos?，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积為0

27．向量的数量积的几何意义：

数量积a?b等于a的長度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积

28．两個向量的数量积的性质：

设a、b為两個非零向量，e是与b同向的單位向量

1?e?a=a?e=|a|cos?；2?a?b?a?b

3?當a与b同向時，a?b=|a||b|；當a与b反向時，a?b=?|a||b|

尤其的a?a=|a|2或

4?cos?=；5?|a?b|≤|a||b|

29、平面向量数量积的运算律

互换律：a?b=b?a

数乘結合律：(a)?b=(a?b)=a?(b)

分派律：(a+b)?c=a?c+b?c

30、两個向量的数量积等于它們對应坐標的乘积的和

，

31、平面内两點间的距离公式

（1）设，则或

（2）假如表达向量的有向线段的起點和终點的坐標分别為、，那么(平面内两點间的距离公式)

32、.向量垂直的鉴定

设，，则

33.两向量夹角的余弦（）

cos?=

34.（1）平移的概念

设F為平面内一种图形，将F上所有的點按照同一方向，移動同样的長度，得到，這個過程叫做图形的平移.

在图形平移過程中，自一點都是按照同一方向移動同样的長度，因此我們有两點思索：

其一，平移所遵照的“長度”和“方向”正是向量的两個本质特性，因此，從向量的角度看，一种平移就是一种向量.

其二，由于图形可以當作點的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上點的平移.

（2）平移公式

设點P(x,y)按照給定的向量a＝（h,k）平移後得到新點，

则

轻易看到，公式中是用旧點的坐標和平移向量的坐標来