《等比数列的前n项和》教学设计一 (1).docVIP

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《等比数列的前n项和》教学设计一

教学设计

一、情境导入

话说唐僧师徒四人从西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐步发展成为一个规模不小的养殖场的老板.可是猪八戒上网和同门师兄一沟通，发现师兄们各个资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖、加工为一体的高科技生产企业—高老庄集团可是资金不够，于是他想到了在海南做大生意的大师兄.

猪八戒：猴哥，能不能帮帮我……

孙悟空:Noproblem!我每天给你投资100万元,连续一个月(30天),但有一个条件:第一天返还1元,第二天返还2元,第三天返还4元后一天返还数为前一天的2倍,30天之后互不相欠.

猪八戒:第一天出1元入100万元;第二天出2元入100万元;第三天出4元入100万元哇,发了

让我们帮猪八戒算一算:八戒吸纳的资金为(万元).需返还悟空的钱数为?

事实上,这是等比数列的求和问题,那么怎样求等比数列的前项和呢?

设计意图:设计一个学生比较感兴趣的故事,吸引学生注意力,使学生马上进入到研究者的角色中来,带着浓厚的兴趣学习新课.

二、新知探索

1.启发引导学生从数学角度观察问题,构建数学模型需返还悟空的钱数:?

教师紧接着把如何求?的问题让学生探究,学生研究汇报:

，=1\*GB3①

若用公比2乘以上面等式的两边,得到

.=2\*GB3②

若=2\*GB3②式减去=1\*GB3①式,可以消去相同的项,得到:(元)亿万元.

答案:八戒需返还的钱数远远大于八戒吸纳的资金.

2.引导学生用“特例到一般”的研究方法,猜想数学规律

问题:一般等比数列的前项和?

教师提出问题,学生小组讨论,汇报:

一般地,设等比数列的公比为,前项和为,

则

.=3\*GB3③

当时,由=3\*GB3③可以看出,.

当时,在=3\*GB3③两边同时乘以可得

,=4\*GB3④

=3\*GB3③=4\*GB3④可得,此时有

.

教师指出:这种方法称为错位相减法.

小结:

综上可得等比数列前项和的公式为

因为,所以时,等比数列前项和的公式也可改写为.

设计意图:从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和能力提高.

3.探究等比数列前项和与的关系

教师出示下列问题,并引导学生思考,有需要的时候做适当提示.

探索与研究

（1）等比数列中,与的关系与以前所学过的什么函数有关?

（2）如果数列的前项和的公式是,

其中都是常数,且,那么一定是等比数列吗?为什么?

学生小组讨论,汇报结论如下:

（1）与的关系与之前学过的指数型函数有关;

（2）可以证明,当时必为等比数列,否则是从第二项开始的等比数列.

三、典例分析

例1已知等比数列的公比,求这个数列前8项的和.

解因为,所以,

因此

.

设计意图:熟练运用等比数列的前项和公式,着重强调公式的选择.

例2已知等比数列中,,求这个数列前10项的和.

解由已知可得

解得.

因此前10项的和为

.

设计意图:运用新知,加深对知识的理解,巩固新学知识.

例3已知数列的前项和公式为1,求出数列的通项公式,并判断这个数列是否是等比数列.

解当时,有.

当时,有1).

因此数列的通项公式为

又因为,

,可知不是等比数列.

设计意图:掌握等比数列的前项和公式的特点,使学生能够根据等比数列前项和判断一个数列是否为等比数列.

例4求值:

分析数列不是等比数列,不能直接用公式计算,但将它转化成,就容易解决了.

解原式

.

设计意图:使学生掌握根据通项公式将所求问题转化为等差或等比数列求和问题,为后面学习一般数列的求和奠定基础.

例5某工厂去年1月份的产值为元,且月平均增长率为,求这个工厂去年全年产值的总和.

解设该工厂去年第个月的产值为元,由题意可知,且,

即.

因此是以为首项,为公比的等比数列,这个数列共有12项,且,

从而这个数列所有项的和为

因此可知该工厂去年全年的总产值为元.

设计意图:掌握等比数列前项和公式在实际问题中的应用,为后面学习数列应用奠定基础.

四、课堂小结

引导学生从以下几个方面进行总结.

1.等比数列前项和的公式是什么?

2.我们采用何种方法推导出该公式?

3.使用的时候对公比有何不同要求?

五、布置作业

1.教材第28页练习第题.

2.研究性作业:探索证明等比数列前项和公式的其他方法.

提示:

方法一:提取公因式.

，

所以

方法二:利用等比定理