计算动力学第1章ppt课件.pptxVIP

计算动力学（2）;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;数值方法的基本思想;数值方法的基本思想;

中的导数进行不同的离散化处理。

对于初值问题

;的数值解法，首先要解决的问题就是如何对微分方程进行离散化，建立求数值解的递推公式。递推公式通常有两类，一类是计算yi+1时只用到xi+1,xi和yi，

即前一步的值，因此有了初值以后就可以逐步往下计算，此类方法称为单步法；其代表是龙格—库塔法。另一类是计算yi+1时，除用到xi+1,xi和yi以外，还要用到，即前面k步的值，此类方法称为多步法；其代表是亚当斯法。;Euler公式;Euler法的求解过程是:从初始点P0(即点(x0,y0))出发,

作积分曲线y=y(x)在P0点上切线(其斜率为

),与x=x1直线;同样,过点P1(x1,y1),作积分曲线y=y(x)的切线

交直线x=x2于P2点,切线的斜率=

直线方程为;由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点以

=为斜率作直线;这样,从x0逐个算出

对应的数值解;Euler公式;;;2梯形公式

为了提高精度,对方程的两端在区间上

积分得，

改用梯形方法计算其积分项，即;(5)式的右端含有未知的yi+1,它是一个关于yi+1的函数方程,这类数值方法称为隐式方法。相反地,欧拉法是关于yi+1的一个直接的计算公式，这类数值方法称为显式方法。;3改进的欧拉公式

显式欧拉公式计算工作量小,但精度低。梯形公式虽提高了精度,但为隐式公式,需用迭代法求解,计算工作量大。综合欧拉公式和梯形公式便可得到改进的欧拉公式。

先用欧拉公式(2)求出一个初步的近似值,称为预测值,它的精度不高,再用梯形公式(5)对它;改进的欧拉公式;（11）;4龙格-库塔方法

1龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想

Euler公式可改写成;上述两组公式在形式上有一个共同点:都是用f(x,y)在某些点上值的线性组合得出y(xi+1)的近似值yi+1,而且增加计算的次数f(x,y)的次数,可提高截断误差的阶。如欧拉公式:每步计算一次f(x,y)的值,为一阶方法。改进欧拉公式需计算两次f(x,y)的值，它是二阶方法。它的局部截断误差为。;于是可考虑用函数f(x,y)在若干点上的函数值的线性组合来构造近似公式，构造时要求近似公式在(xi,yi)处的Taylor展开式与解y(x)在xi处的Taylor展开式的前面几项重合，从而使近似公式达到所需要的阶数。既避免求偏导,又提高了计算方法精度的阶数。或者说,在这一步内多预报几个点的斜率值，然后将其加权平均作为平均斜率，则可构造出更高精度的计算格式，这就是龙格—库塔（Runge-Kutta）法的基本思想。;2二阶龙格—库塔法

在上取两点xi和,以该两点处的斜率值k1和k2的加权平均(或称为线性组合)来求取平均斜率k*的近似值K，即;二阶龙格-库塔法;（14）;将以上结果代入（14）得：;式(17)中具有三个未知量,但只有两个方程,因而有无穷多解。若取,则p=1，这是无穷多解中的一个解，将以上所解的值代入式(14)并改写可得;二阶龙格-库塔法;二阶龙格-库塔法;3三阶龙格-库塔法;三阶龙格-库塔法;三阶龙格-库塔法;4四阶龙格—库塔法;四阶龙格-库塔法;本章结束