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练素养相似三角形判定定理的应用集训课堂苏科版九年级下第六章图形的相似

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如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.1

证明：如图，连接OD.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠ABC＝∠ODC.∴AB∥OD.∴∠AED＝∠ODF.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠ODF＝90°.∴DE⊥OD.∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AC＝12，BE＝3，求AD的长．

2【2023·上海金山区二模】如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC(DEBC)，且DA＝EA，连接BD，CE.

(1)求证：四边形DBCE是等腰梯形；证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC.又∵DE∥BC，∴∠DAB＝∠ABC，∠ACB＝∠CAE.∴∠DAB＝∠EAC.又∵DA＝EA，∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.又∵DE∥BC(DEBC)，∴四边形DBCE是等腰梯形．

3如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.求证：(1)△ACB∽△DCE；

(2)EF⊥AB.证明：∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.又∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∴∠DEC＋∠BAC＝90°.∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.

4【2023·南京九中月考】如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.

证明：如图，∵BD⊥BE，∴∠1＋∠2＝180°－90°＝90°.∵∠C＝90°，∴∠2＋∠BEC＝180°－90°＝90°，∴∠1＝∠BEC.(1)求证：AC＝AD＋CE；

解：∵AD＝3，CE＝5，∴BC＝3，AB＝5.如图，过点Q作QF⊥BC于F，易知△BFQ∽△BCE，