专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）.pdf

专题35锐角三角函数与圆综合（解析版）

第一部分典例剖析+针对训练

类型一利用垂径定理构造直角三角形

典例1（2022•三水区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，以A为圆心，AB

为半径画圆，与边BC交于另一点D．

（1）求BD的长；

（2）连接AD，求∠DAC的余弦值．

思路引领：（1）过点A作AH⊥BD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即

可解决问题；

（2）过点D作DM⊥AC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题．

解：（1）过点A作AH⊥BD于H，如图1所示：

∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝42，

∴AB=2−2=62−(42)2=2，

11

∵AB•AC=BC•AH，

22

⋅2×424

∴AH===2，

63

42

∴BH=2−2=22−(32)2=3，

∵AH⊥BD，

2

∴BH＝HD=，

3

4

∴BD=；

3

（2）过点D作DM⊥AC于M，如图2所示：

44

由（1）得：AH=2，BD=，AB＝2，

33

414

∴AD＝AB＝2，CD＝BC﹣BD＝6−=，

33

11

∵AH•CD=DM•AC，

22

414

⋅2×14

33

∴DM===，

429

148

在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM=2−2=22−(9)2=92，

8

24

∴cos∠DAC==9=2．

29

总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决

问题，属于中考常考题型．

针对训练

3

1．（2021秋•湖州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，tanA=．以点C为圆心，CB长

4

为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）

73

A．1B．C．D．2