电子讲义反常积分的概念.pptx

第十一章反常积分

§11.1反常积分的概念数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系目录上页下页返回结束

教学要求：教学重点、难点：目录上页下页返回结束通过学习，使学生理解无穷积分、瑕积分的概念，并会用定义计算或讨论两类积分。重点：无穷积分、瑕积分的概念。难点：瑕点的确定。数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系

授课内容一、问题的提出二、两类反常积分的定义数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系目录上页下页返回结束

一、问题的提出1、背景目录上页下页返回结束定积分实际应用中往往遇到：（１）有界函数在无穷区间上的积分（２）无界函数在有限区间上的积分数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系

例1.曲线和直线及x轴所围成的开口曲边梯形的面积(如图所示)机动目录上页下页返回结束其面积A可记作数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系(有界函数在无穷区间上的积分)2、引例

由曲线和直线及Ox轴所围成的曲边梯形的面积(如图所示)可用定积分计算机动目录上页下页返回结束数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系分析

目录上页下页返回结束数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系当时,当时,将此极限定义为所求开口图形的面积．即

例２:曲线所围成的与x轴,y轴和直线开口曲边梯形的面积（如图所示）机动目录上页下页返回结束其面积A可记作数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系(无界函数在有限区间上的积分)

由曲线所围成的与x轴,和直线曲边梯形的面积(如图所示)机动目录上页下页返回结束分析可用定积分计算数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系

目录上页下页返回结束数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系当时,当时,将此极限定义为所求开口图形的面积．即

二、两类反常积分的定义相对于以前所讲的定积分(不妨称之为正常积分)而言,例1和例2分别提出了两类反常积分．数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系定义1.设存在极限,则称此极限为函数f(x)在记作且在任何有限区间上可积，如果上的无穷限反常积分(简称无穷积分),目录上页下页返回结束

数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在，就称反常积分发散.目录上页下页返回结束类似地,可定义f在上的无穷积分：对于f在上的无穷积分，可由前面两种无穷积分来定义：(其中为任意实数,一般可取)当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．

定义2.设而在点a的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b的左邻域内无界,若极限数f(x)在(a,b]上的反常积分(又称瑕积分）,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系

若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明:而在点c的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,机动目录上页下页返回结束间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系

结束语：以上通过两个例子引出了两类反常积分的概念．关于它们的计算及敛散性的讨论下次课再讲．数学分析电子讲义黄淮学院数学科学系参考书：《数学分析》(第二版)陈纪修高等教育