广东省深圳市南山区华侨城中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题.docx

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华侨城高级中学2024届高三深圳一模适应性考试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知向量，且，则m=

A.?8 B.?6

C.6 D.8

2.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A.若，，，则 B.若，，，则

C.若，，，则 D.若，，，则

3.已知为等差数列的前n项和，，则（）

A.60 B.120 C.180 D.240

4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为，则这6个点数的中位数为4的概率为（）

A. B. C. D.

5.已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（）

A B.1 C. D.2

6.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，则cosA＝（）

A. B. C. D.

7.已知，是椭圆的两个焦点，双曲线的一条渐近线与交于，两点.若，则的离心率为（）

A. B.

C. D.

8.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

月份编号x

1

2

3

4

5

销量y（万件）

50

96

142

185

227

若与线性相关，其线性回归方程为，则下列说法正确的是（）

A.线性回归方程必过 B.

C.相关系数 D.6月份的服装销量一定为272.9万件

10.设，为复数，下列命题中正确的是（）

A.

B.若，则与中至少有一个是0

C.若，则

D.

11.已知圆C：，则下列命题是真命题的是（）

A.若圆关于直线对称，则

B.存在直线与所有的圆都相切

C.当时，为圆上任意一点，则的最大值为

D.当时，直线为直线上动点，过点作圆的切线，切点为，，则最小值为4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知集合，集合，若，则实数的取值范围为___________.

13.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆.若用平行于圆锥的底面，且与底面的距离为的平面截圆锥，将此圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则小圆锥和圆台的体积之比为______.

14.已知数列的首项，且满足对任意都成立，则能使成立的正整数的最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数，a，．若在处与直线相切．

（1）求a，b值；

（2）求在（其中为自然对数的底数）上的最大值和最小值．

16.如图，在圆锥中，是圆的直径，且是边长为4的等边三角形，为圆弧的两个三等分点，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

17.某6人小组利用假期参加志愿者活动，已知参加志愿者活动次数为2，3，4的人数分别为1，3，2，现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会．

（1）求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率；

（2）记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X，求X的分布列和期望．

18.设抛物线焦点为F，点在抛物线C上，（其中O为坐标原点）的面积为4．

（1）求a；

（2）若直线l与抛物线C交于异于点P的A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为，证明：直线l过定点，并求出此定点坐标．

19.对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量．特别地，称为零向量．设，，，定义加法和数乘：，．对一组向量，，…，（，），若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．

（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．

①，；②，，；③，，，．

（2）已知向量，，线性无关，判断向量，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．

（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明下列结论：

①如果存在等式（，），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；

②如果两个等式，（，，）同时成立，其中，则．