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中值定理与导数的应用(1-6节.pptVIP

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第三章

微分中值定理与导数的应用

•1

罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统

01

称微分学中值定理,它们在理论上和应用上都有

着重大意义,尤其是拉格朗日中值定理,它刻划

了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性

之间的联系,是研究函数性质的理论依据。

学习时,可借助于几何图形来帮助理解定理的条

02

件,结论以及证明的思路;并由此初步掌握应用

微分学中值定理进行论证的思想方法。

第一节微分中值定理

n费马引理:

○设函数f(x)在点x0的某邻

○U(x0)内有定义,并且在点

有x0

○可导。如果对任意的

○定义导数为零的点称为函

数的驻点(或

○稳定点、临界点)。

不妨设

f(x0x)f(x0)

则f(x)f(x)lim

00

x0x

f(x0x)f(x0)

且f(x)f(x)lim

00

x0x

证明:

证毕

二、罗尔定理

R-Th的几何意义:

010203

ABx

0405

y0

(1)若M=m,

证:∵f(x)在闭区间[a,b]上连续,

0102

∴f(x)在[a,b]上必有最大值M有两种情况:

0304

及最小值m,

M=m;Mm.

0506

则m=f(x)=M,(x)为常数,即有

0708

那么(a,b)内任一点都可取作∴M=m时,定理必成立。

0910

ξ,

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