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第三章
微分中值定理与导数的应用
•1
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理统
01
称微分学中值定理,它们在理论上和应用上都有
着重大意义,尤其是拉格朗日中值定理,它刻划
了函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性
之间的联系,是研究函数性质的理论依据。
学习时,可借助于几何图形来帮助理解定理的条
02
件,结论以及证明的思路;并由此初步掌握应用
微分学中值定理进行论证的思想方法。
第一节微分中值定理
n费马引理:
○设函数f(x)在点x0的某邻
域
○U(x0)内有定义,并且在点
有x0
○可导。如果对任意的
○定义导数为零的点称为函
数的驻点(或
○稳定点、临界点)。
不妨设
f(x0x)f(x0)
则f(x)f(x)lim
00
x0x
f(x0x)f(x0)
且f(x)f(x)lim
00
x0x
证明:
证毕
二、罗尔定理
R-Th的几何意义:
010203
ABx
0405
y0
(1)若M=m,
证:∵f(x)在闭区间[a,b]上连续,
0102
∴f(x)在[a,b]上必有最大值M有两种情况:
0304
及最小值m,
M=m;Mm.
0506
则m=f(x)=M,(x)为常数,即有
0708
那么(a,b)内任一点都可取作∴M=m时,定理必成立。
0910
ξ,
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