《数学物理方法》课程教学大纲.doc

《数学物理方法》课程教学大纲

课程编号课程性质：专业方向课

适合专业：应用物理学

先修课程：高等数学、普通物理

开设学期：第三学期

考核方式：考试

总学时数：64-72

学分：4

（一）课程教学目标

通过本课程的学习，使学生掌握处理物理问题的一些基本数学方法，为进一步学习后继课程提供必要的数学基础。要求学生熟悉复变函数的一些基本概念，掌握泰勒级数及洛朗级数的展开方法，利用留数定理来计算回路积分和三类实变函数的定积分；掌握傅立叶变换和拉普拉斯变换的概念及性质，并能运用拉普拉斯变换方法求解积分、微分方程。了解三种类型的数学物理方程的导出过程，能熟练写出定解问题；掌握用行波法求解一维无界及半无界波动方程，利用分离变量法求解各类齐次及非齐次方程；了解特殊函数的常微分方程，掌握用级数解法求解二阶常微分方程，了解施图姆-刘维尔本征值问题及性质；掌握勒让德多项式、贝塞尔函数及性质，并能利用勒让德多项式求解三维轴对称拉普拉斯方程。（二）课程的目的与任务

数学物理方法是应用物理学专业基础理论课。通过本课程的教学，帮助学生掌握并能运用复变函数、数学物理方程等理论物理的基本数学工具。培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力，为学习物理系基础理论课量子力学、统计物理和电动力学等打好数学基础。

通过该课程的学习，学生应能够使用常用的数学方法和物理规律解决各类物理实际问题。能熟悉在数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、推广、猜想及模型化等。

（三）理论教学的基本要求

本课程要求学生对教学大纲涵盖内容的基本框架有一个总体了解，对数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、推广、猜想及模型有一个具体了解。

本课程要求学生深入理解复变函数论和数学物理方程中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。

本课程要求学生能熟练掌握学到的基本数学方法和技巧，能运用这些方法解决一类常见的物理问题，能较顺利地学习本专业后继的物理课程。

（四）实践教学要求

无

（五）教学学时分配数

章次

各章名称

总学时

学时分配

讲课

实验

上机

课外

小计

一

复变函数

6

6

6

二

复变函数的积分

4

4

4

三

幂级数展开

7

7

7

四

留数定理

6

6

6

五

傅里叶变换

6

6

6

六

拉普拉斯变换

5

5

5

七

数学物理定解问题

9

9

9

八

分离变数法

12

12

12

九

二阶常微分方程级数解法

9

9

9

习题课复习

0-8

0-8

0-8

总计

64-72

64-72

64-72

（六）大纲内容

本课程分为两大部分，第一部分为复变函数论，第二部分为数学物理方程。

第一篇复数函数论

本篇概述

复数函数论是指自变数为复数的函数。它是实变函数在自变数方面的延伸，并形成了一个独立的理论分支。复变函数在物理学中有极其广泛的应用。首先，由于复变数的引入，赋予了一些物理量以新的意义。例如，物理学中普遍使用复阻抗、复势、复频率、复介电常数、复磁导率、复哈密顿量等等，这些复数量都具有新的物理内涵。其次，许多复变函数论的方法，如柯西积分、回路积分、罗朗级数筹，给物理学许多领域中大量的实际问题提供了有效的处理手段。因此，复变函数论成为数学物理方法的一个重要组成部分。在本篇中，首先引人复变函数的基本概念，特别是复导数、柯西—黎曼条件及解析函数的概念。其次讨论复变函数的积分，论述柯西定理，并在这个基础上导出柯西公式，得到一个函数在解析点处及其高阶导数在该点处的积分表达式。然后，讨论复变函数的幂级数展开理论，同时对复变函数的孤立奇点进行分类和各类奇点的性态分析。最后，指出留数定理及其应用。鉴于复变函数所涉及的范围很广，对于其它的内容，在本大纲中不作要求。

在本篇的教学中，学生要善于将复变函数与实变函数进行比较。一方面，要注意它们之间的理论相似之处，充分利用已学的实变函数的知识，来认识复变函数相应的理论。另一方面，要注意它们的不同之处，了解复变函数有关理论的特点进行学习。在本篇中特别要重视解析函数的有关内容，这是贯串本篇知识的轴线。

幂级数的每一项都是以幂函数作为基本函数的，由于幂函数不是周期函数，所以将某一函数展开成幂级数后，就很难体现周期性的这个特征。如果要着重研究某一函数的周期性时，需要用到傅立叶级数展开理论。这部分内容虽然是前导课程的范围，但在本课程的第二篇中有重要应用，学生必须进行很好地复习巩固。

傅立叶级数理论，还可以延伸到无穷区间上定义的函数，形成了傅立叶积分理论。傅立叶积分理论，是数学物理方程的一个较重要的内容，也是本篇的一个重要组成部分。同傅里叶级数理论一样，它在物理学的许多领域中被广泛地应用。傅立叶展开还有进一步的理论，即广义傅立叶级数展开理论。这部分的