专题38 几何最值之胡不归问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.pdf

专题38几何最值之胡不归问题

方法技巧

问题分析

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？

B

V

砂石地1

V

1

驿道

AVC

2

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

模型展示：

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1V2，A、B为定点，

ACBC

点C在直线MN上，确定点C的位置使+的值最小．

VV

21

B

V

1

MN

AVC

2

ACBC1æVöV

+=çBC+1AC÷，记k=1，

VVVVV

211è2ø2

即求BC+kAC的最小值．

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

B

MAαCN

CH

H

sinα==k

AC

D

CH=kAC

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小

值，即BC+kAC最小．

B

C

MαN

A

H

D

最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转

化为“PA+PC”型．

题型精讲

3

【例1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+PD

2

的最小值等于________．

M

D