数学教材拓展：圆锥曲线（解析版）.pdf

教材挖掘拓展12：圆锥曲线

教材挖掘拓展1：圆锥曲线的由来

【链接教材】人教A版选择性必修第一册P104第三章序

12000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.

【应用】

.

古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线用垂直于圆锥的轴的

“”

平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到和且仅和圆锥

的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支

.

（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）现用一个垂直于母线的平面去截一

.

_______

个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为

3

【答案】

3

12

【解析】如图是等边三角形，设棱长为，不妨过点作垂直于母线的平面，得

PABAPB

M

到截面曲线为椭圆，截面过PB的中点，则椭圆长轴长2a|AM|63，

′′QQ

取线段的中点，连接PO并延长交于点，过作交底面圆于点

AMOABEF⊥AB

E,F，连接PE,PF分别交椭圆于点G,H，则椭圆短轴长2b|GH|，且EF//GH，

11

BQMN//PQ,|PQ|2|MN|′

取中点，连接MN，则，|QO||MN||PQ|，

N

24

′

2b|PO|33

因此2b|EF|Q,N3

，即，显然是线段的两个等分点，

AB

|EF||PQ|44

即|AQ|4,|BQ|8，由相交弦定理得|EQ|2|AQ||BQ|32，解得|EQ|42，

3b2

于是2b=⋅2|EQ|62，，

4a