2024年西班牙数学奥林匹克试题(含答案) .pdf

2024年西班牙数学奥林匹克

第一天

1.2024个不同的素数p,p,···,p满足条件：

122024

p+p+···+p=p+p+···+p.

121012101310142024

设A=pp···p，B=pp···p．

121012101310142024

求证：|A−B|≥4．

2.给定正整数n，实数x,x,···,x1满足xx···x=n+1．求证：

12n12n

()()()

111

+1+1···+1≥n+1,

1(x−1)2(x−1)n(x−1)

222

12n

并说明等号何时成立．

3.设△ABC为不等边三角形，P为三角形内部一点，满足∠PBA=∠PCA．直线PB和∠BAC

的内角平分线交于点Q，直线PC和∠BAC的外角平分线交于点R．点S满足CS∥AQ，BS∥AR．

求证：Q,R,S三点共线．

第二天

4.实数a,b,c,d满足

1111

abcd=1,a++b++c++d+=0.

abcd

求证：ab,ac,ad中至少一个等于−1．

5.给定平面上的两点p=(x,y),p=(x,y)，用R(p,p)表示边与坐标轴平行、且以p和

111222121

p为对角顶点的矩形，即

2

{(x,y)∈R2|min{x1,x2}≤x≤max{x1,x2},min{y1,y2}≤y≤max{y1,y2}}.

2∈S，使得|S∩R(p

若对所有的点集S⊂R，且|S|=2024，都存在两点p,p,p)|≥k，