2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第6节 第2课时 直线与双曲线的位置关系.pdfVIP

第2课时直线与双曲线的位置关系

课标解读考向预测

1.掌握直线与双曲线的位置关系及从近三年高考来看，直线与双曲线的综合问题是高考

其判定方法.的热点，题型以解答题为主，难度偏大．预计2025年

2.会求直线和双曲线相交的弦长.高考可能会与渐近线、离心率等综合考查，选择题、

3.能够解决弦中点问题.填空题、解答题都有可能出现.

必备知识——强基础

1．直线与双曲线的位置关系

22

xy

将直线的方程y＝kx＋m与双曲线的方程－＝1(a0，b0)联立组成方程组，消元转化为关

22

ab

222222222

于x的方程(b－ak)x－2amkx－am－ab＝0.

222b0102

(1)若b－ak＝0(m≠0)，即k＝±时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线相

a

交于一点．

b

222222222222

(2)若b－ak≠0，即k≠±时，Δ＝(－2amk)－4(b－ak)(－am－ab)．

a

①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线有两个交点；

②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线有一个公共点；

③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线无公共点．

2．直线与双曲线的相交弦

22

xy

设直线y＝kx＋m交双曲线－＝1(a0，b0)于P(x，y)，P(x，y)两点，则

111222

22

ab

22

|PP|＝（x－x）＋（y－y）

121212

y－y

12

2

22

＝（x－x）1＋x－x＝1＋k|x－x|，

121212

1

同理，可得|PP|＝1＋|y－y|(k≠0)．

1212

k2

这里|x－x|，|y－y|的求法通常使用根与系数的关系，需作以下变形：

1212