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剖析立体几何“动态问题”的解题策略
蒋小艳
(郴州市第一中学ꎬ湖南郴州４２３０００)
摘要:立体几何“动态问题”是高考中的热点题型ꎬ其中的动态背景有动点、动直线、动平面、
翻折、旋转等ꎬ所要解决的问题类型有轨迹问题、定值问题、存在性问题、最值问题和范围问题ꎬ本文
通过典例分析ꎬ探究解题策略.
关键词:“动态问题”ꎻ轨迹ꎻ方程ꎻ函数ꎻ最值
中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００４５－０３
立体几何是高中数学的重点内容ꎬ在高考中占
有很大的比重ꎬ旨在考查学生的空间想象能力、逻辑
推理能力及计算能力ꎬ在近几年高考中还出现一些
涉及“动态问题”的立体几何题ꎬ其中的动态背景有
动点、动直线、动平面、翻折、旋转等ꎬ所要解决的问
题类型也是非常灵活的ꎬ要求学生在运动变化中找
图１图２
出其中的规律ꎬ它对学生思维的灵活性及知识的迁
(２)以ＡＢ为ｘ轴ꎬＡＤ为ｙ轴ꎬＡＡ为ｚ轴ꎬ建立１
移能力提出了更高的要求.
如图２所示的坐标系ꎬ设点Ｐ(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ
１“动态”几何中的轨迹问题由ＢＰ＝３ＰＥꎬ得
(ｘ－６)＋ｙ＋ｚ＝３[(ｘ－２)＋ｙ＋ｚ].２２２２２２
例１如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－ＡＢＣＤ中ꎬ
１１１１
所以ｘ＋ｙ＋ｚ＝１２.所以若点Ｐ在长方体ＡＢ￣２２２
ＡＢ＝２ＡＤ＝２ＡＡ＝６ꎬ点Ｅ在棱ＡＢ上ꎬＢＥ＝２ＡＥꎬ动１
ＣＤ－ＡＢＣＤ内部运动ꎬ则点Ｐ所形成的轨迹是
１１１１
点Ｐ满足ＢＰ＝３ＰＥ.若点Ｐ在平面ＡＢＣＤ内运动ꎬ则
圆心在坐标原点ꎬ半径为２３的球体.
点Ｐ所形成的轨迹为ꎻ若点Ｐ在长方体ＡＢＣＤ－
由题得Ｆ(３ꎬ３ꎬ３ꎬ)ꎬＢ(６ꎬ０ꎬ３)ꎬＣ(６ꎬ３ꎬ０)ꎬ所１
ＡＢＣＤ内部运动ꎬＦ为棱ＣＤ的中点ꎬＭ为ＣＰ的
１１１１１１→→
以ＦＢ＝(３ꎬ－３ꎬ０)ꎬＢＣ＝(０ꎬ３ꎬ－３).设平面１１
中点ꎬ则三棱锥Ｍ－ＢＣＦ的体积的最小值为.１
ＢＣＦ的法向量为ｎ＝(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ所以
解析(１)以ＡＢ为ｘ轴ꎬＡＤ为ｙ轴ꎬ建立平面１０００
→
直角坐标系ꎬ则Ｂ(６ꎬ０)ꎬＥ(２ꎬ０).设Ｐ(ｘꎬｙ)ꎬ由ＢＰｎＦＢ＝３ｘ－３ｙ＝０ꎬ１００
２２２２{→所以ｎ＝(１ꎬ１ꎬ１).
＝３ＰＥꎬ得(ｘ－６)＋ｙ＝３[(ｘ－２)＋ｙ].ｎＢＣ＝３ｙ－３
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