2021年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解.docx

2021年1月福建省普通高中学业水平合格性考试

数学试卷

（考试时间：90分钟,满分：100分）

第Ⅰ卷（选择题??45分）一,选择题（本大题有15小题,每小题3分,共45分．每小题只有一个选项符合题意）

1．已知集合,,则（????）

A． B． C． D．

2．下列几何体中,其俯视图可以为圆的是（????）

A．长方体 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体

3．（????）

A． B． C． D．

4．已知向量,,则（????）

A． B． C． D．

5．函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

6．根据防疫要求,需从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务,则选中的名都是男医生的概率为（????）

A． B． C． D．

7．设,满足约束条件,则的最大值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．如图,在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子,有250粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为（????）

A． B．1 C．2 D．3

9．已知直线,,若,则实数（????）

A． B． C．1 D．2

10．不等式的解集是（????）

A． B．

C． D．

11．已知,,则（????）

A． B． C． D．

12．函数的图像大致为（）

A． B．

C． D．

13．函数的最小值是（????）

A． B． C． D．

14．已知,,,则a,b,c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

15．关于函数有下列四个结论：

①的图象关于原点对称.

②在区间上单调递增.

③的一个周期为.

④在是有四个零点

其中所有正确结论的编号是（????）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

第Ⅱ卷（非选择题???55分）二,填空题（本大题有5小题,每小题3分,共15分）

16．若,则.

17．已知,满足,,,则与的夹角的余弦值为.

18．在等差数列中,,则.

19．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,则.

20．要制作一个容积为,高为的无盖长方体容器,已知该容器的底面每平方米的造价是元,侧面每平方米的造价是元,则该容器的最低总造价为元.

三,解答题（本大题有5小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

21．已知等比数列的前项和为,且,．

(1)求的通项公式.

(2)若,求．

22．已知圆C：．

(1)求圆心C的坐标及半径长.

(2)求直线：被圆C所截得的弦AB的长．

23．如图,在三棱锥中,已知△ABC和△PBC均为正三角形,D为BC的中点．

(1)求证：平面.

(2)若,,求三棱锥的体积．

24．有人收集了5年中某城市的居民年收入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据：

第年

1

2

3

4

5

年收入/亿元

32

33

34

35

36

商品销售额/万元

25

30

34

37

39

(1)求,.

(2)求y关于x的回归方程.

(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元,估计这种商品的销售额是多少?

附：对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：,.

25．已知四个函数：,,,.

(1)从上四个数选择一个函数,判断其奇偶性,并加以证明.

(2)以上四个中,是否满足其图象与直线有且仅有一个公共点的函数?若存在,写出满足条件的一个函数,并证明,若不存在,说明理由.

1．D

【分析】根据并集直接计算即可.

【详解】因为,.

所以.

故选：D

2．B

【分析】根据各选项几何体的结构特征,判断俯视图的形状即可.

【详解】A：长方体的俯视图为矩形,不合题设.

B：圆柱的俯视图是圆,符合题设.

C：三棱锥的俯视图为三角形,不合题设.

D：正方体的俯视图为正方形,不合题设.

故选：B.

3．D

【分析】根据特殊角的三角函数值求解.

【详解】由特殊角的三角函数值知.

故选：D

4．C

【分析】根据向量坐标的线性运算求的坐标.

【详解】由题设,.

故选：C.

5．B

【分析】根据函数定义域的求法,求得的定义域.

【详解】.

所以的定义域为.

故选：B

6．B

【分析】利用列举法即可求解.

【详解】解：将名男医生记为,,名女医生记为

从名男医生和名女医生中任选名参加社区防控服务,所有可能情况有：

,,共种

选中的名都是男医生的情况为：,共种

所以选中的名都是男医生的概率为：.

故选：B.

7．C

【分析】作出可行域,利用直线截距的几何意义,数形结合求解.

【详解】如图,作出可行域.

由可得.

由图可知当直线过点A时,有最大值.

由得.

所以.

故选：C

8．B

【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论．

【详解】解：正方形的面