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《复变函数与积分变换》课后答案华中科技

第一章1.1

第

一章

(1)(1+i)-(3-2i);

解(1+i)-(3-2i)=(1+i)-3+2i=-2+3i.

(2)(a-bi)3;

解(a-bi)3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3

=a3-3ab2+i(b3-3a2b).

解

1.2证明下列关于共轭复数的运算性质：

(1)(zi±z2)=1±2;

证(z?±z2)=(x1+iy?)±(x2+iy?)

=(xi±x?)+i(y?±y?)=(xi±x?)-i(y?±y?)=x1-iy?±x2千iy2=z1±z?·

(2)z1·z2=1·z2;

证z1·x2=(x?+i)(xz+ix)

=x?T2-yiy?-i(x?y?+yix?).

1·z?=(x1+iy1)(x2+iy?)=(x?-iy?)(x?-iy?)

=xix2-iy?X2-ix132-yiy2·即左边=右边，得证.

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1.3解方程：

解所给方程组可写为

即

利用复数相等的概念可知

解得

故

1.4将直线方程ax+by+c=0(a2+b2≠0)写成复数形式.[提示：记x+iy=z.]

解由

代入直线方程，得

az+az-bi(z一乏)+2c=0,(a-ib)z+(a+ib)+2c=0,

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故Az+AE+B=0,其中A=a+ib,B=2c.

≠0)写成复三代人圆周方程，1.5将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(a数形式(即用z与z

≠0)写成复

三代人圆周方程，

解把,x2+y2=z·

得

2az·Z+(b-ic)z+(b+ic)元+2d=0,

故

Az·Z+B+B+C=0.其中A=2a,B=b+ic,C=2d.

1.6求下列复数的模与辐角主值.

(1)√3+i;

解|√3+i|=√(J3)2+12=√4=2,

(2)-1-i;

解|-1-il=√(-1)2+(-1)2=√2,

(3)2-i;

2

(1)|z?-z?|2=|z?2+|z?l2-2Re(z?·z?);证|z?-z?|2=(z?-≈2)(z1-z2)

=(z?-z?)(z-2)

=z1·1+z2·乏2-Z221-z?22=|z?|2+|z?l2-(z1Z2+z?22)

=|z?|2+|z?|2-2Re(z?22).

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(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),并说明此式的几何意义；

证|z1+z2|2+|z1-z?|2

=(zi+z?)(z1+z2)+(z?-z?)(z1-22)=(z?+z?)(z?+2)+(z1-z?)(Z?-z?)=2izl2+2|zz|2=2(|z?|2+|z?|2).

此式的几何意义是：平行四边形对角线平方和等于各边平方和.

证显然有|z|=|x+iyl=√x2+y2≤lxl+lyl.而

(|x|-ly1)2≥0,则21xyl≤x2+y2.又

(lx|+ly|)2=1x|2+lyl2+2|xyl

≤2(x2+y2)=2|z|2,

故

故

即

即

1.8将下列各复数写成三角表示式.

(1)-3+2i;

解1-3+2i|=√13,

故

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(2)sinα+icosα;

解|sinα+icosα!=1,

放

放故故

解

1.9利用复数的三角表示计算下列各式：

(1)(1+i)(1-i);

(2)(-2+3i)/(3+2i);

解因

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故(-2+3i)/(3+2i)=i.

解由乘幂公式知

(4)√-2+2i.

解因|-2+2i|=8,中,所以由开方公式知

k=0,1,2,3.

1.10解方程：z3+1=0.

解方程z3+1=0,即z3=-1,它的解是

由开方公式计算得

即

z1=COSπ+isinπ=-1,

1.11指出下列不等式所确定的区域与闭区域，并指明它是有界

《复变函数