专题36 中考命题核心元素含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）.pdf

专题36含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

思路1：套用半角模型常用结论．

模型解读：

常用结论：如图①，BM＋DNMN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周长2AB.

常用证明方法：如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABN′，证明△AMN≌△AMN′.

222

常用结论：如图③，BP＋QDPQ.

常用证明方如图④，在正方形ABCD中，ADa，点M，N分别在BC，CD边上，且∠MAN45°.

拓展结论：

(1)BM＋DNMN；

(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；

(3)△CMN的周长2a(为定值)；

(4)S△ABM＋S△ADNS△AMN；

MN

(5)的最小值为22－2；

AB

2

(6)S△AMN的最小值为(2－1)a；

2

(7)S△CMN的最大值为(3－22)a；

222

(8)BP＋QDPQ；

(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；

2

(10)BQ·DPAB·ADa(定值)；

(11)△APQ∽△ANM(相似比为1∶)；

2

(12)S△AMN2S△APQ；

(13)P，M，N，Q四点共圆；

(14)△AMC∽△AQD(相似比为1∶)；

2

(15)CM·CN2BM·DN；

(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；

(17)△APN与△AQM均为等腰直角三角形；

(18)A，B，M，Q四点共圆；

(19)A，P，N，D四点共圆．

法：将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△ADP′，证明△AQP≌△AQP′.

思路2：作垂直，将45°角置于直角三角形中，构造等腰直角三角形解决问题．

思路3：利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，构造直角三角形，解决问题．

思路4：利用两角和或差的正切公式

；

典1在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°

时，求点C的坐标．（尽可能用多种方法解题）

针对训练

1．（2021春•永嘉县校级期末）如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（4，5），若在该图象

上有一点P，使得∠AOP＝45°，则点P的坐标是．

2．如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面积．

典2（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝

45°．

（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．

①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系：（用等式表示）；

②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．

（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、

AD上的点，∠EBF＝45°．

③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系