专题36 以为背景圆的最值问题（解析版） -【重难点突破】2021-2022学年九年级数学（上册+下册）常考题专练（北师大版） .pdf

专题36以为背景圆的最值问题

题型一两点最值

1．如图，正方形ABCD内接于eO，线段MN在对角线BD上运动，若eO的面积为2p，MN=1，则DAMN

周长的最小值()

A．3B．4C．5D．6

【解答】解：的面积为，则圆的半径为2，则BD=22=AC，

eO2p

由正方形的性质，知点是点A关于BD的对称点，

C

过点C作CA¢//BD，且使CA¢=1，

连接AA¢交BD于点N，取NM=1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：QA¢C//MN，且A¢C=MN，则四边形MCA¢N为平行四边形，

则A¢N=CM=AM，

故DAMN的周长=AM+AN+MN=AA¢+1为最小，

22

则A¢A=(22)+1=3，

则DAMN的周长的最小值为3+1=4，

故选：B．

2．如图，在RtDAOB中，ÐAOB=90°，OA=4，OB=6，以点O为圆心，3为半径的eO，与OB交于点

，过点作交AB于点D，点P是边上的动点，则的最小值为210．

CCCD^OBOAPC+PD

【解答】解：延长交于点E，连接ED，交于点P，则的值最小，最小值为线段DE

COeOAOPC+PD

的长．

QCD^OB，

\ÐDCB=90°，

QÐAOB=90°，

\ÐDCB=ÐAOB，

\CD//AO，

CDBC

\=，

AOBO

CD3

\=，

46

\CD=2，

在RtDCDE中，DE=CD2+CE2=22+62=210，

\PC+PD的最小值为210．

故答案为：210．



3．如图，ABeO的直径，AB=8，点M在eO上，ÐMAB=20°，NMB的中点，P是直径AB上的

一动点，则的最小值为

PM+PN()

A．4B．5C．6D．7

【解答】解：作点关于AB的对称点，连接交AB于P¢，如图，

NN¢MN¢

则P¢N=P¢N¢，

\P¢M+P¢N=P¢M+P¢N¢=MN¢，

\此时P¢M+P¢N的值最小，

QÐMAB=20°，

\ÐMOB=40°，

QN是弧MB的中点，

\ÐNOB=20°，

QN点关于AB的对称点N¢，

\ÐN¢OB=20°，

\ÐMON¢=60°，

\DOMN¢为等边三角形，

\MN¢=OM=4，

\P¢M+P¢N=4，

即PM+PN的最小值为4．

故选：A．

4．如图，A、B是半圆O上的两点，MN是直径，OB^MN，若AB=4，OB=5，PMN上的一动点，

则PA+PB的最小值为2