专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.pdf

专题37几何最值之费马点问题

方法技巧

问题分析

“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况：

（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中

三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。

（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.

费马点问题解题的核心技巧：

旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短

求解问题

模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.

当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.

特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A

（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）

费马点的性质：

1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。

2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。

最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程：

将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。

即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE

题型精讲

1B=6∠ABC=60°MAMBM

【例】如图，四边形ABCD是菱形，A，且，是菱形内任一点，连接，，

CMAM+BM+CM________

，则的最小值为．

【答案】

63

【详解】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM

MC=NEAM+MB+CM=AM+MN+NEAMNEAE

∵∴．当、、、四点共线时取最小值．

1

AB=BC=BE=6ABH=EBH=60°BHAEAH=EHBAH=30°BH=AB=3AH=BH=

∵，∠∠，∴⊥，，∠，∴，333，

2

AE=2AH=

∴

63．

故答案为63．

【例2】如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.

AD

N

E

M

BC

（1）求证：△AMB≌△ENB；

（2）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；

（3）当AM＋BM＋CM的最小值为31时，求正方形的边长.

【答案】

（1）△AMB≌△ENB，证明略。

（2）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.

②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，

AM＋BM＋CM的值最小，图略

（3）2

【解析】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA