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第四节两个重要极限
两个重要的极限§1-4
预备知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.数e是一个无理数，它的前八位数是：e=2.7182818???有关三角函数的知识
3.有关指数运算的知识01
4.极限的运算法则
1.夹逼准则准则Ⅰ满足下列条件:如果数列那么数列的极限存在,且}{}{},{nnnzyx及一、极限运算准则
x10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998x－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一个重要极限
OxBACD证
解01这个结果可以作为公式使用02例1求03
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：例2
练习1.求下列极限:01
例3P2P1解例4P3解
思考题PART1
练习3：下列等式正确的是（）练习4：下列等式不正确的是（）
练习5.下列极限计算正确的是（）为无穷小量.练习6.已知当（）时，
练习7.已知，当时，添加标题01单击此处添加小标题练习8.03单击此处添加小标题为无穷小量．02单击此处添加小标题练习9.04
2.单调有界准则几何解释:单调有界数列必有极限.单调有界有极限有界
第二个重要极限x-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828x10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827
P2P1解因为所以，有P3例1
例2添加标题01所以添加标题03解方法一令u=-x，因为x?0时u?0，添加标题02
方法二掌握熟练后可不设新变量第一章
例3解
01练习1.02解
谢谢观看单击此处添加副标题内容解练习2.
两个重要极限:小结
练习题
思考题因此解因为所以令u=x-3，当x??时u??，
第一章作业2作业
附录两个重要极限的证明
两个重要极限的证明O1x2R3A4B5C6证?AOB面积扇形AOB面积?AOC面积,即7例8
≤所以再次运用定理6即可得因为≤
重要极限1其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，
这就证明了不等式(7).PLEASEENTERYOURTITLEHERE从而有
重要极限2202X证
这是重要极限2常用的另一种形式.
分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题(一)
例3求下列极限：
解：当x从0的左侧趋于0时，1当x从0的右侧趋于0时,2
例5求下列极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。
解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。
求解。又当x→0时，ax→0，bx→0，于是有
分析：当x→0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1个重要极限。
解法2：
分析：当x→0时，分式中分子分
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