考研题库 《数学分析》（第2版）（上册）章节题库.docxVIP

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第1章集合与映射第2章数列极限

第3章函数极限与连续函数第4章微分

第5章微分中值定理及其应用

第6章不定积分第7章定积分

第8章反常积分

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第1章集合与映射

1

1.求函数y=2x+12-xl(-x≤+解：-画视x为未知数，解方程

,为了去掉绝对值，将方程改写为

其图像如图1-1所示，

图1-1

2.设

使(1)将f(x)延拓到(-1,1),使其成为偶函数，即找一个偶函数

使

得

(2)(2)将f(x);,使其成为以1为周期的周期函数.

(2)

解：(1)

第2章数列极限

1.证明下列结论：

(1)若B,则

(2)若,则

(3)若则

(4)若且=则

证明：(1)因为所以{xn}是有界数列，从而{xn-a}也是有界数列，即一使得

由s=知存在正整数N?,使当nN?时有

l于是当nN?时，

故

(2)因为,不妨设,所以

nN时，有—E=于是当n2N时，,从而有

即

(3)由知a≥0.若a0,则,由(1)的结论知

由此可得

若a=0,则

由(2)的结论知

所以

(4)令,则yn0,且由(3)的结论知

于是

2.证明：不存在.

证明：用反证法.假设,则1,且有

即

于是

即1,但是,矛盾.即—不存在.

3.若1,且=,证明—都存在，并且相等.

证明：由知，≥,当时，有

由此知，,即=有上界；

,即目有下界.

由单调有界定理，都存在.由1可得：,即两者

极限相等.

4.设证明数列收敛，并求其极限.

证明：假设的极限存在，并设为A,则,即因为

,故

若n,则

若，则

由□知，≥,而二

下面将证明：事实上

而2的根为言，故

即以A为上界，≥以A为下界，故它们的极限都存在，分别设为α,β.由

取极限可得

故

5.设,证明数列收敛.

证明：因为

所以

于是又

1,即单调递减.

,即□有下界0.

由单调有界定理，亩的极限存在，记为C(通常称为欧拉常数),故收敛。

证明：利用不等式

,证明

义，用数学归纳法即可证得。

当k=1时，

设k≤n时，有2

,即二

有意义，于是，

所以,即有意义且回有上界.

由可知，≥n由单调有界定理，回存在，

易见

7.设,(1)求；(2)求

解：(1)由于--,所以

故

(2)一方面，由,可得另一方面，由(1)可

知，联合以上两式，有由两边夹定理，

8.方程x=m+esinx(0ε1)称为开普勒方程.若

,则数列一收敛.设,则是开普勒方程的惟一解(即

),亦称为方程的不动点.

证明：考察

于是，对任意的自然数p,有

由柯西收敛准则，收敛.若设1门，在方程两边取极限可知，是

开普勒方程的解，即再证惟一性.

若也是开普勒方程的解，即，则

,

由0e1知，≥,是开普勒方程的惟一解.

9.设α∈R,