考研题库 《数学分析》（第三册）配套题库（考研真题+章节题库+模拟试题）.docxVIP

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内容简介目录

第一部分名校考研真题

第13章多元函数的极限和连续

在[0,1]上连续，,使第14章多元微分学第15章重积分

第16章曲线积分与曲面积分

第17章含参变量积分

,在u∈(0,+o)上一致收敛.

,又在(1,+0)上单调递减且一致趋于0,故由Dinchlet判别法知在te(0,+0)上一致收敛.故对任意的ε0,存在，当

时，有

,所以，即，因此.第二部分章节题库

第13章多元函数的极限和连续由此可知，当或即时极限存在.

,则

(2)设，f(x,y)定义在D上.若f(x,y)是单变量x的连续函数，且对任意的，

有(对一致),则f(x,y)在D上连续.

证明：(1)任取，往证为此，只需指出，对任给，存在，使得作并记.由可知，存在使又由f的连续性，可知存在，使得.

类似地可知，存在以及闭区间，使得，继续这一过程，可得闭区间列，点列满足

因为.且，而是单变量y的连续函数，所以在上式中令，导出

(2)设依题设知，对任给，存在，使得当时有

,以及

从而可得

(3)设，依题设知，对任给，存在，使得

又存在，使得

(1)设在D上连续，且，则

在(a,b)上连续.

(2)设，f(x,y)在D上连续.若，则

(3)设在D上连续.令则

记，则依条件，存在，使得

因此，对，有

即

(2)对，令，易知

注意到f在D上一致连续，故是一族等度连续函数.对任给，存在，使得又存在，使得

现在对满足的，存在，使得

根据等度连续性，又推出导出这说明，随之有，即

(3)令，注意到f在D上的一致连续性可知，对，存在，使得,即在上连续，自然也是一致连续的.因此，存在，使得

现在对任意取定的，我们有

证明：(1)注意到f在D上一致连续，故对任给，存在，使得

且因为是一致收敛列，所以存在N,使得从而视，可知

这就是说，在[a,b]上一致收敛.其中，由f的一致连续知，当时有,即在上连续.对任给，存在使得

(2)显然，F(x,y)在上连续.对处，根据的连续性可知，对任给，存在，使得求以及

显然不存在，所以不存在.

(3)由三种极限间的关系及步骤(2)中的结果可知不存在

由题设f(x,y)在域a≤x≤A,b≤y≤B上连续，故在此域上一致连续，即对任给的ε0,存在δ=δ(ε)0,使对于此域中的任意两点只要时，就有

特别地，当时，对于一切的x∈[a,A],均有

对于上述的δ0,因为在[a,A]上一致收敛，故存在自然数N,使当mN,nN时，

对于一切的x∈[a,A],均有于是，对任给的ε0,存在自然数N,使当mN,nN时，对于一切的x∈[a,A],均有

因此在[a,A]上一致收敛.

由于f(x,y)关于x对变数y一致连续，故对任给的ε0,存在使当(x,y)EG,

(x,y)∈G且时，就有

又因f(x,y)在点关于变数x是连续的，故对上述的ε,存在使当时，就有

取并使点的δ邻域全部包含在区域G内，则当点P(x,y)属于点的δ邻域，即时，

从而有

因此，f(x,y)在点连续.由的任意性知，函数f(x,y)在G内是连续的

即它是处处有定义的有理函数.又当y=0时，显然是连续的.于是，当变数y固定

时，函数f(x,y)对于变数x是连续的.同理可证，当变数x固定时，函数f(x,y)对于变数y是连续的.

对于不同的k可得不同的极限值，从而知不存在.因此，函数f(x,y)在原点不是二元连续的.

第14章多元微分学

证明：(1)问题等价于证明不等式

令，这样，证上述不等式只要证明.为此，在区域上考虑二元函数.因为，即对固定的，函数f(x,y)是y的单调递减函数，所以

如果，显然有；如果即，也有

综上便知在上成立.

(2)易知W中第i行第j列的元素是若记其余子式为，则从而可得因此，有

(3)依题设易知，且有

注意到的连续性，有

由此知存在，使得，即上递增.

(1)设且充分小，则

(2)作，则且，从而可知存在点使得达到最大(小)值.由此得，从而导出

解：(1)由可知f(x,y)在点(0,0)处连续.因为有所以得到

易知时有，故在点(0,0)不可微.

(2)因为，所以导出

取，则，这说明f(x,y)在点(0,0)处不可微.解：(1)(i)注意到，故得

(ii)注意到，故得式①左端

证明：(1)不妨假定，则有

其中，再由可知

这说明f(x,y)在点处可微.所以，注意到

(4)因为所以有

由g(x,y)在点(0,0)处的连续性可知，这说明F(x,y)在点(0,0)处