专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型（原卷版）.pdf

专题33圆中的重要模型之圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：CAEBDEÞ=ÞEC×ED=EB×EA。

EBED

12023··ACBeOAC=BCÐACB=90°

例．（江苏无锡校联考三模）如图，点，，D，在上，，．若

1

CD=4，tanÐCBD=，则AD的长是．

3

22023·6ABC⊙ODACA

例．（山东济宁一模）如图，边长为的等边三角形内接于，点为上的动点（点、

CBD⊙OECE(1)(2)DC=2ADCE

除外），的延长线交于点，连接．求证△CED∽△BAD；当时，求的

长．

32023··

例．（江西宜春统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突

然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），

下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．

圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．

1eOAB，CDPAP×BP=CP×DP

已知：如图，的两弦相交于点．求证：．

1AC，BD

证明：如图，连接．

∵ÐC=ÐB，ÐA=ÐD．∴△APC∽△DPB，（根据）

AP

∴=@，∴AP×BP=CP×DP，

DP

∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

(1)____________@____________

任务：请将上述证明过程补充完整．根据：；：．

(2)2ABeOPABAB=10cmPA=4cm

小刚又看到一道课后习题，如图，是的弦，是上一点，，，

OP=5cm，求eO的半径．

模型2.双割线模型

条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。

ECCG

结论：CEGCHFÞ=ÞEC×FC=GC×HC

CHCF

12023··PCD⊙OPA=4cmAB=6cm

例．（辽宁葫芦岛一模）已知：如图，PAB、是的割线，，，

CD=3cm.则PD=cm.

22023··