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数学建模五步法与灵敏度分析
灵敏度分析
简介:
研究与分析一个系统(或模型)的状态或输出变化对系统参数或周围条件
变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据
不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对
系统或模型有较大的影响。因此,灵敏度分析几乎在所有的运筹学方法中以及
在对各种方案进行评价时都是很重要的。
用途:
主要用于模型检验和推广。简单来说就是改变模型原有的假设条件之后,
所得到的结果会发生多大的变化。
举例(建模五步法):
一头猪重200磅,每天增重5磅,饲养每天需花费45美分。猪的市场价格为
每磅65美分,但每天下降1美分,求出售猪的最佳时间。
建立数学模型的五个步骤:
1.提出问题
2.选择建模方法
3.推到模型的数学表达式
4.求解模型
5.回答问题
第一步:提出问题
将问题用数学语言表达。例子中包含以下变量:猪的重量w(磅),从现
在到出售猪期间经历的时间t(天),t天内饲养猪的花费C(美元),猪的市
场价格p(美元/磅),出售生猪所获得的收益R(美元),我们最终要获得的
净收益P(美元)。还有一些其他量,如猪的初始重量200磅。
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数学建模五步法与灵敏度分析
(建议先写显而易见的部分)
猪从200磅按每天5磅增加
(w磅)=(200磅)+(5磅/天)*(t天)
饲养每天花费45美分
(C美元)=(0.45美元/天)*(t天)
价格65美分按每天1美分下降
(p美元/磅)=(0.65美元/磅)-(0.01美元/磅)*(t天)
生猪收益
(R美元)=(p美元/磅)*(w磅)
净利润
(P美元)=(R美元)-(C美元)
用数学语言总结和表达如下:
参数设定:
t=时间(天)
w=猪的重量(磅)
p=猪的价格(美元/磅)
C=饲养t天的花费(美元)
R=出售猪的收益(美元)
P=净收益(美元)
假设:
w=200+5t
C=0.45t
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数学建模五步法与灵敏度分析
p=0.65-0.01t
R=p*w
P=R-C
t=0
目标:求P的最大值
第二步:选择建模方法
本例采用单变量最优化问题或极大—极小化问题
第三步:推导模型的数学表达式子
P=R-C(1)
R=p*w(2)
C=0.45t(3)
得到R=p*w-0.45t
p=0.65-0.01t(4)
w=200+5t(5)
得到P=(0.65-0.01t)(200+5t)-0.45t
令y=P是需最大化的目标变量,x=t是自变量,现在我们将问题转化为集合
S={x:x=0}上求函数的最大值:
y=f(x)=(0.65-0.01x)(200+5x)-0.45x(1-1)
第四步:求解模型
用第二步中确定的数学方法解出步骤三。例子中,要求(1-1)式中定义的y=f
(x)在区间x=0上求最大值。下图给出了(1-1)的图像和导数(应用几何
画板绘制)。在x=8为全局极大值点,此时f(8)=133.20。因此(8,
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数学建模五步法与灵敏度分析
133.20)为f在整个实轴上的全局极大值点,同时也是区间x=0上的最大值
点。
第五步:回答问题
根据第四步,8天后出售生猪的净收益最大,可以获得净收益133
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