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2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）

一、填空题



1．设非空集合A1,2,L,9满足aA，10aA，则这样的A的个数为．

2．在锐角三角形ABC中，边BC2，B2A，则边AC的取值范围是．





fxaxbx0,1?

3．设a,bR，函数满足fx1对任意都成立，则ab的最大值为．

4．是双曲线x2y21的右支上一点，M,N分别是圆22和

Pxy10x210

916

22|PM||PN|

xy10x240上的点，则的最大值为．

rrrr2πrrrr

5a=1,b=2t

．已知向量，且和的夹角为，若atb与tab的夹角为钝角，则的取

ab

3

值范围为．

3

6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为

4

3

．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则

4

游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．

7．若X是棱长为6的正四面体ABCD内一点，以X在四面体ABCD的四个面上的射影

2

为顶点的新四面体的体积的最大值为．

8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格O处有一只电子瓢虫，每

过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌

“”2023“”

落平台就会死亡，那么在秒后，该瓢虫仍然存活的概率是．

二、解答题

3



9zz

．已知复数列满足：z，zz1zin1，求．

n12n1nn2024

10x,y,z?222.222

．设非负实数满足xyz10，求6x6y6z的最大值和最小

值.

uuuuruuur

yx

11M3m,0m0NP

．已知点，